Calcolo limite
Buona sera, riuscireste a svolgermi il seguente limite:
lim per x tende a 0 di $ (log (1+x+x^3)-sen^3x-log(1+x))/(((1+x^2)^(2/3)-cos(x^2))^2 $
lim per x tende a 0 di $ (log (1+x+x^3)-sen^3x-log(1+x))/(((1+x^2)^(2/3)-cos(x^2))^2 $
Risposte
Ho provato ad utilizzare le relazioni asintotiche ma non riesco a venirne a capo.Se qualcuno riuscisse a spiegarmi lo svolgimento, mi farebbe un immenso piacere.
Ciao nico97it,
Benvenuto sul forum!
Al denominatore userei i limiti notevoli, al numeratore no perché si ha cancellazione fino al terzo ordine, quindi occorre sviluppare in serie almeno fino al quarto ordine:
$ lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([(1+x^2)^(2/3)-cos(x^2)]^2) = lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([(1+x^2)^(2/3) - 1 + 1 - cos(x^2)]^2) = $
$ = lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2 x^4) = $
$ = lim_{x \to 0} (x - x^2/2 + frac{4x^3}{3} - frac{5x^4}{4} + o(x^5) - x^3 + o(x^5) - x + x^2/2 - x^3/3 + x^4/4 + o(x^5))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2 x^4) = $
$ = lim_{x \to 0} (- 1 + o(x))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2) = frac{- 1}{[2/3 + 0]^2} = - 9/4 $
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Al denominatore userei i limiti notevoli, al numeratore no perché si ha cancellazione fino al terzo ordine, quindi occorre sviluppare in serie almeno fino al quarto ordine:
$ lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([(1+x^2)^(2/3)-cos(x^2)]^2) = lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([(1+x^2)^(2/3) - 1 + 1 - cos(x^2)]^2) = $
$ = lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2 x^4) = $
$ = lim_{x \to 0} (x - x^2/2 + frac{4x^3}{3} - frac{5x^4}{4} + o(x^5) - x^3 + o(x^5) - x + x^2/2 - x^3/3 + x^4/4 + o(x^5))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2 x^4) = $
$ = lim_{x \to 0} (- 1 + o(x))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2) = frac{- 1}{[2/3 + 0]^2} = - 9/4 $
"pilloeffe":
Ciao nico97it,
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Al denominatore userei i limiti notevoli, al numeratore no perché si ha cancellazione fino al terzo ordine, quindi occorre sviluppare in serie almeno fino al quarto ordine:
$ lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([(1+x^2)^(2/3)-cos(x^2)]^2) = lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([(1+x^2)^(2/3) - 1 + 1 - cos(x^2)]^2) = $
$ = lim_{x \to 0} (log (1+x+x^3)-sin^3 x-log(1+x))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2 x^4) = $
$ = lim_{x \to 0} (x - x^2/2 + frac{4x^3}{3} - frac{5x^4}{4} + o(x^5) - x^3 + o(x^5) - x + x^2/2 - x^3/3 + x^4/4 + o(x^5))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2 x^4) = $
$ = lim_{x \to 0} (- 1 + o(x))/([frac{(1+x^2)^(2/3) - 1}{x^2} + frac{1 - cos(x^2)}{x^2}]^2) = frac{- 1}{[2/3 + 0]^2} = - 9/4 $
Grazie mille per la risposta
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