Calcolo limite
Ciao, oggi a lezione ci hanno assegnato questo esercizio:
$ lim_(n -> oo ) 3^n [(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] $
La cosa più utile secondo me è vederlo come un lim notevole simile a $((1+n)^alpha-1)/n$ così da ottenere $ lim_(n->oo) 3^n [cos(1/n)*(3^(-n-1))]$
Tuttavia da qui non riesco a procedere perché non rieco a ricondurmi a nessun lim notevole.. mi trovo in una situazione di stallo.
Cosa dovrei applicare per proseguire?
Grazie.
$ lim_(n -> oo ) 3^n [(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] $
La cosa più utile secondo me è vederlo come un lim notevole simile a $((1+n)^alpha-1)/n$ così da ottenere $ lim_(n->oo) 3^n [cos(1/n)*(3^(-n-1))]$
Tuttavia da qui non riesco a procedere perché non rieco a ricondurmi a nessun lim notevole.. mi trovo in una situazione di stallo.
Cosa dovrei applicare per proseguire?
Grazie.
Risposte
Ciao Dot.who,
Attenzione che il limite notevole che hai citato è errato; in realtà si ha:
$lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha $
mentre nel tuo caso $n\to +\infty $. Quindi, eventualmente, puoi cercare di ricondurti ad esso con opportune posizioni...
Attenzione che il limite notevole che hai citato è errato; in realtà si ha:
$lim_{x \to 0} frac{(1 + x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha $
mentre nel tuo caso $n\to +\infty $. Quindi, eventualmente, puoi cercare di ricondurti ad esso con opportune posizioni...
È vero, il mio limite non tente a 0, ma credevo si potesse usare anche per i limiti tendenti a infinito. Tuttavia se non posso semplificarlo in quel modo non ho proprio idea di come risolverlo.
Mi hai suggerito di cambiare tendenza al limite ma non credo sia possibile...
Mi hai suggerito di cambiare tendenza al limite ma non credo sia possibile...
Ciao. Un buon modo di procedere, secondo me, è osservare che $(1+3^(-n-1))^(cos(1/n))=exp[cos(1/n)log(1+3^(-n-1))]$ e sviluppare questo termine. E' sufficiente, tra l'altro, andare al primo ordine. Poi, sembra fatto apposta per usare questo trucco! 
Si ha:
$ lim_{n \to +infty} 3^n [(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} 3^{n + 1}[(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = $
$ = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} frac{(1+ frac{1}{3^{n + 1}})^cos(1/n)-1}{1/3^{n + 1}} = frac{1}{3} $
In alternativa, seguendo il consiglio di Weierstress:
$ lim_{n \to +infty} 3^n [(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} 3^{n + 1}[(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = $
$ = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} frac{exp[cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})]-1}{1/3^{n + 1}} = $
$ = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} frac{exp[cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})]-1}{cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})} cdot frac{cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})}{1/3^{n + 1}} = $
$ = frac{1}{3} \cdot lim_{n \to +infty} frac{exp[cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})]-1}{cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})} cdot lim_{n \to +infty} cos(1/n) cdot lim_{n \to +infty} frac{ln(1+ 1/3^{n + 1})}{1/3^{n + 1}} = $
$ = frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = frac{1}{3} $
$ lim_{n \to +infty} 3^n [(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} 3^{n + 1}[(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = $
$ = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} frac{(1+ frac{1}{3^{n + 1}})^cos(1/n)-1}{1/3^{n + 1}} = frac{1}{3} $
In alternativa, seguendo il consiglio di Weierstress:
$ lim_{n \to +infty} 3^n [(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} 3^{n + 1}[(1+3^(-n-1))^cos(1/n)-1] = $
$ = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} frac{exp[cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})]-1}{1/3^{n + 1}} = $
$ = frac{1}{3} lim_{n \to +infty} frac{exp[cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})]-1}{cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})} cdot frac{cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})}{1/3^{n + 1}} = $
$ = frac{1}{3} \cdot lim_{n \to +infty} frac{exp[cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})]-1}{cos(1/n) ln(1+ 1/3^{n + 1})} cdot lim_{n \to +infty} cos(1/n) cdot lim_{n \to +infty} frac{ln(1+ 1/3^{n + 1})}{1/3^{n + 1}} = $
$ = frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = frac{1}{3} $
Grazie mille!! 
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