Calcolo limite

[Lodosage]

come si calcola questo limite? $lim_(x -> 0) (30[coshx-x^2-cosx])/([2(e^x-1)-x^2-2senx]senx^3)$

[Anacleto13]

Domanda più specifica? Cosa hai provato a fare te? Conosci gli sviluppi di Taylor?

[Lodosage]

ho provato a cercare gli ordini di infinitesimo ma la moltiplicazione per senx^3 a denominatore non so come gestirlo

[Anacleto13]

Ordini d'infinitesimo?.. io procederei con gli sviluppi di Taylor (data l'impostazione del limite),

$ lim_(x -> 0) (30[coshx-x^2-cosx])/([2(e^x-1)-x^2-2senx]senx^3) $

Iniziamo con il numeratore: mi fermo al grado 6 (altrimenti si cancellano tutti i termini)

$coshx = 1+x^2/2+x^4/24+x^6/(6!)+o(x^6)$

$cosx = 1-x^2/2+x^4/24-x^6/(6!)+o(x^6)$

quindi abbiamo : $30[1+x^2/2+x^4/24+x^6/(6!)-x^2-1+x^2/2-x^4/24+x^6/(6!)+o(x^6)]$

ci rimane solo : $60x^6/(6!) = x^6/12+o(x^6)$

Continuiamo con il denominatore :

$e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$

$2sinx=2x-x^3/3+o(x^3)$

$sin(x^3) ~ x^3+o(x^3)$

Al denominatore abbiamo :

$(2x+x^2+x^3/3-x^2-2x+x^3/3+o(x^3))(x^3+o(x^3)) = 2/3x^6+o(x^6)$

$ lim_(x -> 0) \frac{x^6/12+o(x^6)}{2/3x^6+o(x^6)} $$=1/8$

[Lodosage]

perché scrivi "data l'impostazione del limite" cosa ti fa pensare che si debba usare taylor?