Calcolo limite
Ciao ragazzi, mi dite se affronto nella maniera corretta questo limite notevole??
Testo:
$lim x(e^(2/x)-1)$ (nel limite, la x-->+ infinito)
Io, forse impropriamente, sfrutterei le equivalenze asintotiche. Userei il limite notevole generico $lim (e^(f(x))-1)/f(x)$ e sostituirei quindi $e^(2/x)-1$ con $2/x$ , ottenendo $lim x(2/x)=2$
Il risultato torna, ma questo procedimento si può fare?
Grazie mille!
Testo:
$lim x(e^(2/x)-1)$ (nel limite, la x-->+ infinito)
Io, forse impropriamente, sfrutterei le equivalenze asintotiche. Userei il limite notevole generico $lim (e^(f(x))-1)/f(x)$ e sostituirei quindi $e^(2/x)-1$ con $2/x$ , ottenendo $lim x(2/x)=2$
Il risultato torna, ma questo procedimento si può fare?
Grazie mille!
Risposte
Ti rispondo no.
Ma non perché sono cattivo ma il limite notevole è:
$lim_(f(x)->0)(e^(f(x))-1)/f(x)$
Quindi per prima cosa devi fare una sostituzione sensata.
ovvero $2/x=y$ può essere una di quelle.
E si nota che se $x->+infty$ allora $y->0^+$
Inoltre $x=2/y$
quindi $lim_(x->+infty)x(e^(2/x)-1)=lim_(y->0^+)2((e^y-1)/y)$
A questo punto non c'è bisogno di dir nulla.
Si poteva ragionare in modo analogo se ti fossi riportata:
$lim_(x->+infty)2*((e^(2/x)-1)/(2/x))$
$f(x)=2/x$ e notiamo che $f(x)->0^+$ se $x->+infty$
Che è praticamente uguale al ragionamento seguito prima.
Ma non perché sono cattivo
ma il limite notevole è:$lim_(f(x)->0)(e^(f(x))-1)/f(x)$
Quindi per prima cosa devi fare una sostituzione sensata.
ovvero $2/x=y$ può essere una di quelle.
E si nota che se $x->+infty$ allora $y->0^+$
Inoltre $x=2/y$
quindi $lim_(x->+infty)x(e^(2/x)-1)=lim_(y->0^+)2((e^y-1)/y)$
A questo punto non c'è bisogno di dir nulla.
Si poteva ragionare in modo analogo se ti fossi riportata:
$lim_(x->+infty)2*((e^(2/x)-1)/(2/x))$
$f(x)=2/x$ e notiamo che $f(x)->0^+$ se $x->+infty$
Che è praticamente uguale al ragionamento seguito prima.
Ok, ricevuto.
Il metodo di cui mi parli tu lo avevo intuito, ma quello con l'equivalenza asintotica mi stava più simpatico peccato che non si sia rivelato giusto
Una sola cosa non mi è chiara del tuo ragionamento:
quando dici, "si nota che se x --> +infinito allora y --> 0+" ... perchè? Come si nota?
Il metodo di cui mi parli tu lo avevo intuito, ma quello con l'equivalenza asintotica mi stava più simpatico
peccato che non si sia rivelato giusto Una sola cosa non mi è chiara del tuo ragionamento:
quando dici, "si nota che se x --> +infinito allora y --> 0+" ... perchè? Come si nota?
Ciao perche se x tende all infinito allora $y=\frac {2}{x}$ tende a zero arrivando dai numeri positivi (algebra degli Infiniti a degli infinitesimi)
Aaaaaaah!!! Ok, capito!!
Grazie
Grazie
Francesca, la tua risoluzione del limite è corretta. Non capisco perché te abbia tutto questo timore nell'usare il metodo asintotico, come ho notato anche in altre occasioni. @anto_zoolander l'ha risolto come te, solo in modo più carino. Ma il concetto è quello.
$text(se ) f(x) rarr 0, text(allora ad esempio ) e^(f(x))~~1+f(x)$
Nel tuo caso, $text(visto che ) x rarr +infty, text(si ha che ) f(x)=2/x rarr 0$. E quindi puoi applicare il metodo asintotico, ottenendo alla fine $x*(1+2/x-1)=2$.
$text(se ) f(x) rarr 0, text(allora ad esempio ) e^(f(x))~~1+f(x)$
Nel tuo caso, $text(visto che ) x rarr +infty, text(si ha che ) f(x)=2/x rarr 0$. E quindi puoi applicare il metodo asintotico, ottenendo alla fine $x*(1+2/x-1)=2$.
La galanteria verso i limiti è tutto 
Bubbino, ok, grazie!! Come avrai notato, non mi ci ritrovo molto con i limiti, per questo se non sono sicura di una cosa chiedo a voi... Male che vada, imparo sempre qualcosa riguardo gli altri metodi
Grazie a tutti!!!
Grazie a tutti!!!
Invece, con questo altro limite mi comporto bene? (Giuro, è l'ultimo per il quale chiedo conferma, poi vi lascio in pace e rimango coi miei dubbi ).
Testo: $lim (e^(2x+4)-1)/(x+2)$ (il limite tende a -2).
Procedo sostituendo il -2 alle x e ottengo la forma indeterminata $[0/0]$.
Il limite notevole in forma generica posso usarlo, perchè ho che x --> -2, quindi f(x) --> 0 come è necessario che sia (giusto?).
Quindi procedo a sostituire con le equivalenze asintotiche il numeratore, ottenendo $lim(2x+4)/(x+2)$ (sempre tendente a -2). Risolvo l'equazione di primo grado fratta e ho come risultato -2
Faccio bene??
Ri-grazie...
).Testo: $lim (e^(2x+4)-1)/(x+2)$ (il limite tende a -2).
Procedo sostituendo il -2 alle x e ottengo la forma indeterminata $[0/0]$.
Il limite notevole in forma generica posso usarlo, perchè ho che x --> -2, quindi f(x) --> 0 come è necessario che sia (giusto?).
Quindi procedo a sostituire con le equivalenze asintotiche il numeratore, ottenendo $lim(2x+4)/(x+2)$ (sempre tendente a -2). Risolvo l'equazione di primo grado fratta e ho come risultato -2
Faccio bene??
Ri-grazie...
"Francesca.S":
Risolvo l'equazione di primo grado fratta
???????????????????????
il risultato è $2$ perchè $2x+4=2(x+2)$
Ops... 
Grazie mille
Grazie mille
Comunque non devi rimanere con i tuoi dubbi. Se non ti torna il risultato, chiedi tranquillamente...
"Bubbino1993":
Comunque non devi rimanere con i tuoi dubbi. Se non ti torna il risultato, chiedi tranquillamente...
Grazie Bubbino! Spero almeno di riuscire a cambiare argomento!!
Se non hai un eserciziario di riferimento, ti consiglio "Analisi Matematica 1. Esercizi e richiami di teoria" di Micol Amar e Alberto Maria Bersani.
Te ne consiglio uno pure io:
'Esercizi di calcolo in una variabile'
Autori: Giuseppe De Marco / Carlo Mariconda
'Esercizi di calcolo in una variabile'
Autori: Giuseppe De Marco / Carlo Mariconda
Ok, grazie mille a tutti!!
Ne ho appena comprato uno, "Esercizi svolti di Analisi matematica... in tasca", ma è molto sintetico... sicuramente acquisterò quelli che mi avete consigliato! Grazie!
Ne ho appena comprato uno, "Esercizi svolti di Analisi matematica... in tasca", ma è molto sintetico...
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Non è necessario acquistarli entrambi. Puoi andare in libreria e visionarli, per poi acquistare quello che t'ispira di più. Sono ottimi eserciziari tutt'e due.
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