Calcolo limite

[francicko]

Salve! Ho cercato di risolvere il seguente limite di successione
$lim(log((2n)!)-nlogn-log (n!))/n $ usando il metodo del confronto con una somma integrale sono arrivato al calcolo del l'integrale
definito tra $1$ e $2$, di $[xlogx-x] $ ottenendo il risultato $ log4-1$, che sembrerebbe corretto, ma non so se il procedimento che ho seguito sia del tutto corretto, qualcuno puo darmi un chiarimento?
Grazie!

[Noisemaker]

Il risultato è corretto. In realtà il confronto con l'integrale non è proprio necessario scomodarlo; infatti basta ricordare l'approssimazione
\[\ln(n!)= n\ln(n)-n+o(1/n):\]
allora
\begin{align}
\lim_{n}\frac{\ln((2n)!)-n\ln n-\ln (n!)}{n}\sim&\frac{2n\ln(2n)-2n-n\ln n-n\ln(n)+n+o(1/n)}{n}\\
=&\frac{2n\ln(2n)- n-2n\ln n +o(1/n)}{n}\\
=& \frac{2n(\ln(2n)-\ln n)- n +o(1/n)}{n}\\
=& \frac{2n \ln2- n +o(1/n)}{n}\\
=& \frac{n(2 \ln2- 1) +o(1/n)}{n}=\ln 4-1.
\end{align}

[francicko]

Grazie per la risposta!
Da dove si ricava però quella approssimazione?

[Noisemaker]

è un approssimazione elementare che deriva dalla formula di Stirling.

[francicko]

Quindi per chi non conosce l a formula di Stirling l'unico modo per arrivare alla soluzione e' il confronto con la somma integrale, o mi sbaglio?