Calcolo limite

[xp92]

buongiorno,
ho un problema con un limite che dovrebbe essere banale.
$ lim_(x -> oo ) (1+1/x)^x $ capisco che con Hopital faccia "e"f ma mi chiedo come mai se io faccio
$ lim_(x -> oo ) (1+0)^x $ cioè $ lim_(x -> oo ) (1)^x $ =1 non va bene , dove resta l'errore?
grazie

[MMarco94]

"xp92":buongiorno,
ho un problema con un limite che dovrebbe essere banale.
$ lim_(x -> oo ) (1+1/x)^x $ capisco che con Hopital faccia "e"f ma mi chiedo come mai se io faccio
$ lim_(x -> oo ) (1+0)^x $ cioè $ lim_(x -> oo ) (1)^x $ =1 non va bene , dove resta l'errore?
grazie

La differenza sostanziale è che $1/x != 0$ :
$1/x$ tende solamente a 0, senza mai raggiungerlo.

Un'altra spiegazione è che $ lim_(x -> oo ) 1^x $ è una forma indeterminata, quindi anche $ lim_(x -> oo ) (1+0)^x $ lo è...

[Noisemaker]

quella è una forma indeterminata del tipo $1^{\infty};$ c'era una topic a rigurado ma non lo trovo, quindi faccio prima a riscrivere.
La dimostrazione di quel limite è più delicata: dimostrare che
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e,\qquad a_n\in \mathbb{R}\]
noto il fatto che
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\qquad a \in \mathbb{N}\]

cioè sostanzailmente di dimostrare che

\[\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\qquad x\in \mathbb{R}\]

Dimostrazione

[size=85]Supponiamo per semplicità che $a_n\to+\infty,$ l'altro caso è analogo. Ciò che bisogna osservare sin dall'inizio è che in questo caso dimostrare la
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} =e,\qquad\qquad(1)\]
equivale a dimostrare che
\begin{align}
\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e,\qquad\qquad(2)
\end{align}
in quanto in questo caso la $(1)$ non è una successione, poichè $a_n$ assume qualsiasi valore reale , perchè per definizione sappiamo che una successione è una funzione definita dai naturali $\NN$ ai numeri reali $\RR,$ cioè
\begin{align*}
a:\mathbb{N}&\to\mathbb{R}\\
n&\mapsto a_n
\end{align*}
Allora dobbiamo partire da ciò che sappiamo, cioè
\[\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\]
e dimostrare la $(1)$ o la $(2).$ Gli strumenti che abbiamo a diaposizione sono i teoremi sulle successioni e quindi in questo caso sarà opportuno utilizzare il teorema dei due carabinieri, cercando di schiacciare la successione $(1)$ o la $(2)$ tra due successioni che convergono allo stesso limite. La funzione che ci fa passare dai numeri reali ai numeri naturali è la funzione parte intera, definita come
\begin{align*}
[x]\le x<[x]+1,\qquad\qquad [a_n]\le a_n<[a_n]+1.
\end{align*}
Osserviamo che se $x$ è un numero (reale) positivo (e in realtà lo è in quanto $x\to+\infty$) la parte intera di $x$ è un numero naturale, cioè
\begin{align*}
\mathbb{N}\ni[x]\le x<[x]+1\in \mathbb{N},\qquad\qquad \mathbb{N}\ni[a_n]\le a_n<[a_n]+1\in \mathbb{N}
\end{align*}
Maggiorariamo la successione:
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
\end{align*}
infatti per per maggiorare la quantità
\[\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\]
il numero $1$ lo lasciamo com'è; per maggiorare la frazione $\frac{1}{a_n}$ osserviamo che
\begin{align*}
[a_n]\le a_n<[a_n]+1\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{[a_n]+1}\le\frac{1}{ a_n } <\frac{1}{[a_n]}
\end{align*}
per maggiorare l'esponente $a_n$ si osserva che la base dell'esponenziale maggiore di $1,$ dunque crescente, e per avere qualcosa di più grande basta aumentare l'esponente, cioè $a_n<[a_n]+1.$ Analogamente per trovare una minorazione si procede come sopra e si arriva a
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n] } \le\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}
\end{align*}
A questo punto siamo riusciti a racchiudere la nostra funzione di partenza tra due successioni che hanno a che fare solo con numeri naturali, essendo come detto, $[x]\in \N.$ Dunque abbiamo ottenuto una relazione del tipo:
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \le\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
\end{align*}
A questo punto abbiamo concluso, in quanto, prendendo i limiti delle due successioni esterne, otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}&=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)-1}=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{ n+1 }\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{-1}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{ n+1 }\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{-1}=e\cdot 1=e\\
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}&= \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n }\cdot \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{1 }=e\cdot 1=e\\
\end{align*}
allora per il teorema dei due carabinieri, anche la successione centrale converge allo stesso limite, e dunque si conclude che:
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n} =\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e
\end{align*}[/size]

[gio73]

"Noisemaker":quella è una forma indeterminata del tipo $1^{\infty};$ c'era una topic a rigurado ma non lo trovo, quindi faccio prima a riscrivere.

Ciao Fracassone (this is the translation for noismaker, or I'm wrong?)
ti riferisci a questo topic?

[Noisemaker]

preciasamente!!

ma come fate a trovarli!?

[gio73]

con il tasto "cerca"
ti ricordi di aver postato in analisi: entri nel forum digiti la parola chiave, magari una parola insolita che rammenti di aver usato, pigi invio e ti escono tutti i post in analisi che contengono quella parola
Davvero non lo sapevi?

[xp92]

grazie mille a tutti, ora mi è più chiaro

[Noisemaker]

"gio73":

con il tasto "cerca"
ti ricordi di aver postato in analisi: entri nel forum digiti la parola chiave, magari una parola insolita che rammenti di aver usato, pigi invio e ti escono tutti i post in analisi che contengono quella parola
Davvero non lo sapevi?

no no quello lo sapevo ... probabilmente non ho scrtitto una parola che si potesse definire chiave relativa a quel topic .... ho i .txt che mi soccorrono in ogni caso, ma è più comodo lincare piuttosto che riscrive .... ti ringrazio e scusa se ho ripetuto qualcosa che c'era gia scritto:wink: