Calcolo $lim_(x->0)1/(xlog(x))$

[Alxxx28]

Ciao a tutti, ho difficoltà nel calcolare il limite in oggetto.
Ecco i passaggi che ho fatto:

ponendo $t=log(x)$
il limite diventa $lim_(t->-\infty)(e^(-t))/t$

A questo punto quindi ho una forma indeterminata, dato che
$lim_(t->-\infty)(e^(-t))=+\infty$ e $t->-\infty$

Che si può considerare anche come una forma $0*+\infty$ dato che $1/t$ tende a zero.
Potreste darmi qualche suggerimento su come procedere?
E' utile la sostituzione da me fatta?

Grazie mille in anticipo

[Steven11]

Intanto sarebbe il caso di scrivere
[tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x\log x}$[/tex] visto che per valori negativi la funzione non è definita, a causa del logaritmo.

Una volta arrivato a
[tex]$\lim_{t\to-\infty}\frac{e^{-t}}{t}$[/tex] hai, cambiando di nuovo variabile ([tex]$y=-t$[/tex])

[tex]$\lim_{y\to+\infty}-\frac{e^{y}}{y}$[/tex]

Ora dovrebbe essere banale concludere, se conosci le diverse "potenze" di infinito.

[Alxxx28]

Grazie per il suggerimento

"Steven":Ora dovrebbe essere banale concludere, se conosci le diverse "potenze" di infinito.

Vuoi intendere la gerarchia degli infiniti esatto?
Quindi, dato che $y\to+\infty$, $e^y$ è infinito di ordine infinitamente grande e quindi
$\lim_{y\to+\infty}\frac{e^{y}}{y}=+\infty$

e di conseguenza il limite iniziale vale $-\infty$

[Steven11]

Esattamente.