Calcolo lavoro lungo una curva

[peppe1992-votailprof]

Salve a tutti, nel seguente esercizio viene chiesto di calcolare i potenziali ed il lavoro.
Per quanto riguarda i potenziali sono riuscito a risolverlo, ho provato che il campo vettoriale è irrotazionale, di classe $ C' $,
è dunque che il campo vettoriale è conservativo. Il problema sorge nel calcolo dell'integrale

Campo vettoriale:
$ F(x,y,z)=(e^(-z^2)+2xye^(-x^2), -e^(-x^2)-2yze^(-y^2), e^(-y^2)-2xze^(-z^2)) $

Curva:

$ r(t)=(t,t^2,t^3) , tin [0,1] $ , $ r'(t)=(1,2t,3t^2) $

Il lavoro sarà dato da:

$ oint_(gamma)dt $

$ oint_(gamma)<(e^(-t^6)+2t^3e^(-t^2),-e^(-t^2)-2t^5e^(-t^4),e^(-t^2)-2t^4e^(-t^6)),(1,2t,3t^2)>dt $ =
$ int_(0)^(1) (e^(-t^6)+2t^3e^(-t^2)+2t(-e^(-t^2)-2t^5e^(-t^4))+3t^2(e^(-t^2)-2t^4e^(-t^6)))dt $

Adesso il problema è svolgere questo integrale, ho provato a mettere in evidenza, a sostituire ma non riesco a procedere.
Ho postato tutto l'esercizio perché credo che non sia semplice questo integrale e non vorrei avere commesso degli errori nei passaggi precedenti e probabilmente l'esercizio è più semplice di quello che sembra.

[peppe1992-votailprof]

Sei stato veramente gentilissimo, non so come ringraziarti.
L'esercizio infatti richiedeva come prima cosa il calcolo del potenziale, quindi la semplicità stava nel fatto che dopo aver calcolato il potenziale potevo utilizzare quel teorema che hai utilizzato tu.
Per poterlo applicare quale sono le ipotesi?

[peppe1992-votailprof]

Sei riuscito a chiarirmi tantissime cose che prima di adesso non avevo capito bene.
Grazie tante!!!