CALCOLO INTEGRALI

[LukeV98]

Volendo calcolare l'integrale indefinito di $x*ln(1+1/x^2)$ ho pensato di usare le proprietà dei logaritmi e arrivare a $x*ln(x^2+1)-x*ln(x^2)$, decido quindi di dividere l'integrale in due e nel primo opero la sostituzione $x^2+1=t$ mentre nel secondo la sostituzione $x^2=k$, dopo aver svolto tutti i calcoli ed essere tornato alle $x$ noto che il risultato è sbagliato. Perché?
Se invece non uso le proprietà dei logaritmi e opero direttamente la sostituzione $x^2=y$ il risultato esce corretto.

Grazie

[anto_zoolander]

Ma perché devi sostituire per forza?

$int(xln(x^2+1)-xln(x^2))dx=1/2int2xln(x^2+1)dx-1/2int2xln(x^2+1)dx$

Ricordando che $d(fcircg)=(dfcircg)*dg$
si ha $intf’(g(x))g’(x)dx=f(g(x))$

e ricordando che $intln(x)dx=xlnx-x$

Ottieni che quell’integrale vale

$1/2[(x^2+1)*(ln(x^2+1)-1)-x^2(ln(x^2)-1)]+c$

Di fatto puoi vedere facilmente che $d(g(x)*ln(g(x))-g(x))=g’(x)*ln(g(x))$

ricorda la definizione di integrale indefinito!
Chiaramente queste osservazioni vanno prese nelle ipotesi giuste di esistenza, derivabilità

[LukeV98]

Il problema è che la soluzione da te proposta, che coincide con la mia, non mi risulta essere quella corretta che dovrebbe invece essere $ln(x^2+1)/2(x^2+1)-x^2/2lnx^2$.

[anto_zoolander]

Ne sei sicuro?
Svolgendo i calcoli di quanto ho scritto

$(x^2+1)/2ln(x^2+1)-x^2/2ln(x^2)+c-1/2, c inRR$

$(x^2+1)/2ln(x^2+1)-x^2/2ln(x^2)$

$(x^2+1)/2ln(x^2+1)-x^2/2ln(x^2)+d,d inRR$

Se pensi che queste tre non abbiano in comune l’essere tutte e tre soluzioni dello stesso integrale indefinito, di cui una ‘particolare’, rivedrei la definizione.