Calcolo integrale triplo

[boanini]

devo calcolare [tex]\int\int\int_{D}e^{3 \sqrt {x^2+y^2+z^2}}dxdydz[/tex] dove [tex]D=(x,y,z) \in R^3 | x^2+y^2+z^2 \le 9,z \ge 0[/tex]
per farlo ho usate le coordinate sferiche [tex]\begin{cases}x=\rho cos \theta sin \varphi \\ y=\rho sin \theta sin \varphi\\ z=\rho cos \varphi \end{cases}[/tex] e il determinante della jacobiana sarebbe [tex]\rho^2 sin \varphi[/tex] e gli intervalle di integrazione sono [tex]\theta=[0,2\pi] \\ \rho=[0,3] \\ \varphi=[0,\frac{\pi}{2}][/tex]
ora gli integrale viene [tex]e^{3 \sqrt{(\rho cos \theta sin \varphi)^2+(\rho sin \theta sin \varphi)^2+(\rho cos \varphi)^2}(\rho^2 sin \varphi)[/tex]
il professore mi ha detto che tutta quella roba sotto radice torna semplicemente [tex]\rho[/tex], come mai?

[Relegal]

Prova a elevare i vari termini al quadrato e a raccogliere. Vedrai che sfruttando $sin^2x+cos^2x=1$ tutto si semplifica !
Dopo averlo fatto, prova a pensare anche alla ragione geometrica che ci sta dietro.

[boanini]

e quindi viene [tex]\sqrt{\rho^2 cos^2 \theta sin^2 \varphi + \rho^2 sin^2 \theta sin^2 \varphi + \rho^2 cos^2 \varphi}[/tex]??

[Relegal]

Quasi, devi elevare al quadrato anche $\rho$

[boanini]

e quindi viene [tex]\sqrt{\rho^2 cos^2 \theta sin^2 \varphi + \rho^2 sin^2 \theta sin^2 \varphi + \rho^2 cos^2 \varphi}[/tex]??

[Relegal]

Si. Ora raccogli il termine $\rho^2 sin^2\phi$.

[boanini]

scusa ma perche devo elevare [tex]\rho[/tex] e [tex]\theta[/tex] [tex]\varphi[/tex] no?

[boanini]

Raccogliendo [tex]\rho^2 sin^2 \varphi[/tex] viene cosi? [tex]\sqrt{\rho^2 sin^2 \varphi(cos^2 \theta+sin^2 \theta + cos^2 \varphi)}[/tex]?

[Relegal]

Non sono sicuro di aver capito quello che intendi, ma $(sinx)^2!=sin(x^2)$.
Quello che compare è qualcosa del tipo $(x*siny)^2$. QUesto è uguale a $x^2*sin^2y$.

[Gatto891]

"boanini":Raccogliendo [tex]\rho^2 sin^2 \varphi[/tex] viene cosi? [tex]\sqrt{\rho^2 sin^2 \varphi(cos^2 \theta+sin^2 \theta + cos^2 \varphi)}[/tex]?

No, l'ultimo termine non contiene il fattore $\rho^2 sin^2$ quindi non puoi raccoglierlo... devi fare un raccoglimento parziale sui due primi termini (e sfruttare la relazione fondamentale della trigonometria).

[Relegal]

"boanini":Raccogliendo [tex]\rho^2 sin^2 \varphi[/tex] viene cosi? [tex]\sqrt{\rho^2 sin^2 \varphi(cos^2 \theta+sin^2 \theta + cos^2 \varphi)}[/tex]?

No. $\rho^2cos^2\varphi$ non è moltiplicato per $rho^2sin^2\varphi$ e non lo puoi raccogliere.
Il risultato corretto è $sqrt(rho^2sin^2\varphi(cos^2\theta+sin^2\theta)+\rho^2cos^2\varphi)$.
A questo punto fai quello che ti ho suggerito nel primo post.
Edit: Anticipato da Gatto89

[boanini]

allora raccolgo [tex]\rho^2 sin^2 \varphi[/tex] tra i primi due e allora la radice viene [tex]\sqrt{\rho^2 sin^2 \varphi(cos^2 \theta+sin^2 \theta)+\rho^2 cos^2 \varphi}[/tex] , [tex](cos^2 \theta+sin^2 \theta)=1[/tex] e quindi viene [tex]\sqrt{\rho^2 sin^2 \varphi+\rho^2 cos^2 \varphi}[/tex], giusto?

EDIT:
a questo punto posso raccogliere [tex]\rho^2[/tex] = [tex]\sqrt{\rho^2(sin^2 \varphi+cos^2 \varphi)}=\sqrt \rho^2=\rho[/tex]
vero?

[Relegal]

Esattamente così.
Il risultato era preventivabile dal momento che con le coordinate sferiche descrivi "quasi tutti" i punti di una superficie sferica di raggio $\rho$. L'equazione cartesiana di questa superficie è $x^2+y^2+z^2=\rho^2$.