Calcolo integrale triplo
Sia $V={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2<=z<=8-x^2-y^2}$ determinare $I=\int int int_V y^3+2 dxdydz$. Dire che relazione c'è fra $I$ è il volume di $V$ senza fare calcoli.
Per linearità si ha che $\int int int_V y^3+2 dxdydz=\int int int_V y^3dxdydz+\int int int_V 2dxdydz$, siccome $V$ è invariante per cambi di segno di $y$ e la funzione $y^3$ è dispari in $y$ allora $\int int int_V y^3dxdydz=0$, per cui l'integrale si riduce a $2\int int int_V1dxdydz$ ovvero il doppio del volume di $V$. Usando i $z$-strati abbiamo: $2(\int_0^4(int int_D1dxdy)dz+\int_4^8(int int_{D'}1dxdy)dz)$ dove $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=z}$ e $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=8-z}$. Abbiamo che $int int_{D}1dxdy=Area(D)=piz$ e $int int_{D'}1dxdy=Area(D')=pi(8-z)$, per cui l'integrale diventa $2(\int_0^4pizdz+\int_4^8pi(8-z))=2([piz^2/2]_0^4+[-pi(8-z)^2/2]_4^8)$
Volevo sapere se il procedimento fosse giusto e correttamente spiegato, grazie.
Per linearità si ha che $\int int int_V y^3+2 dxdydz=\int int int_V y^3dxdydz+\int int int_V 2dxdydz$, siccome $V$ è invariante per cambi di segno di $y$ e la funzione $y^3$ è dispari in $y$ allora $\int int int_V y^3dxdydz=0$, per cui l'integrale si riduce a $2\int int int_V1dxdydz$ ovvero il doppio del volume di $V$. Usando i $z$-strati abbiamo: $2(\int_0^4(int int_D1dxdy)dz+\int_4^8(int int_{D'}1dxdy)dz)$ dove $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=z}$ e $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=8-z}$. Abbiamo che $int int_{D}1dxdy=Area(D)=piz$ e $int int_{D'}1dxdy=Area(D')=pi(8-z)$, per cui l'integrale diventa $2(\int_0^4pizdz+\int_4^8pi(8-z))=2([piz^2/2]_0^4+[-pi(8-z)^2/2]_4^8)$
Volevo sapere se il procedimento fosse giusto e correttamente spiegato, grazie.
Risposte
Ciao andreadel1988,
Mi pare corretto. Il valore dell'integrale mi risulta essere $6 + 16\pi $
Mi pare corretto. Il valore dell'integrale mi risulta essere $6 + 16\pi $
"pilloeffe":
Ciao andreadel1988,
Mi pare corretto. Il valore dell'integrale mi risulta essere $6 + 16\pi $
Perfetto, grazie.
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