Calcolo integrale tramite insieme ANALISI 2
Calcolare
$ int int_\omega xy dx dy , \omega={(x,y)\in R^2 : 0\leqy\leqx ,1\leq x^2 + y^2 \leq 4 } $
Qualcuno mi può spiegare come si trovano gli intervalli che mi permette di trovare gli integrali?
Io ho pensato che rispetto a y gli intervalli sono 0,2 e verso x sono y,2.. non so se sono esatti il risultato deve essere $15/16$
$ int int_\omega xy dx dy , \omega={(x,y)\in R^2 : 0\leqy\leqx ,1\leq x^2 + y^2 \leq 4 } $
Qualcuno mi può spiegare come si trovano gli intervalli che mi permette di trovare gli integrali?
Io ho pensato che rispetto a y gli intervalli sono 0,2 e verso x sono y,2.. non so se sono esatti il risultato deve essere $15/16$
Risposte
Fai un disegno: devi considerare una corona circolare di raggi $1,\ 2$ e le due rette $y=0$ (asse delle ascisse) e $y=x$ (bisettrice del I eIII quadrante).
$ int_(1)^(2) int_(0)^(x) xy dydx$
$ 1/2 int_(1)^(2) dx$
$ 1/8[x^4]_(1)^(2) = 15/8 $
Mi da così ma il risultato è $15/8$ dove ho sbagliato?
$ 1/2 int_(1)^(2) dx$
$ 1/8[x^4]_(1)^(2) = 15/8 $
Mi da così ma il risultato è $15/8$ dove ho sbagliato?
Disegna l'insieme $omega$: in pratica si tratta di intersecare due insiemi, il primo definito da $ 1\leq x^2 + y^2 \leq 4 $ ( e lo chiamo C) ed il secondo da $0<=y<=x$ (e lo chiamo R). Inizia disegnando C sul piano $RR^2$: in pratica devi disegnare due circonferenze concentriche di raggio 1 e 2 e centro nell'origine, ed il tuo insieme C è la parte compresa tra esse, cioè la corona circolare che dice ciampax 
Per R invece devi disegnare le rette $y=0$ (che è l'asse x) ed $y=x$ (che è la bisettrice del I e III quadrante), con R che sarà quella "fetta" compresa tra queste due rette.
Ora interseca i due insiemi ed hai trovato $omega$.
A questo punto per integrare ti conviene assolutamente passare alle coordinate polari
$ { ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta) ):} $
perchè a quel punto avresti $rho in (1,2)$ e $theta in (0,pi/4)$. Questi intervalli si vedono subito guardando il disegno
L'integrale quindi viene così:
$ int int_\omega xy dx dy = int_(0)^(pi/4)int_(1)^(2) rho^3 sin(theta)cos(theta) d rho d theta = int_(0)^(pi/4)sin(2theta)/2 d theta int_(1)^(2) rho^3 d rho = [-cos(2theta)/4]_(0)^(pi/4) * [1/4 rho^4]_(1)^(2) = 1/4 * 15/4 = 15/16$
Per R invece devi disegnare le rette $y=0$ (che è l'asse x) ed $y=x$ (che è la bisettrice del I e III quadrante), con R che sarà quella "fetta" compresa tra queste due rette.
Ora interseca i due insiemi ed hai trovato $omega$.
A questo punto per integrare ti conviene assolutamente passare alle coordinate polari
$ { ( x=rhocos(theta) ),( y=rhosin(theta) ):} $
perchè a quel punto avresti $rho in (1,2)$ e $theta in (0,pi/4)$. Questi intervalli si vedono subito guardando il disegno
L'integrale quindi viene così:
$ int int_\omega xy dx dy = int_(0)^(pi/4)int_(1)^(2) rho^3 sin(theta)cos(theta) d rho d theta = int_(0)^(pi/4)sin(2theta)/2 d theta int_(1)^(2) rho^3 d rho = [-cos(2theta)/4]_(0)^(pi/4) * [1/4 rho^4]_(1)^(2) = 1/4 * 15/4 = 15/16$
Scusami come mai $\rho$ è al cubo?
Scusami, ma un po' di teoria prima di mettersi a fare gli esercizi la vogliamo leggere? Mai sentito parlare di "Jacobiano"?
Ovvio che l'ho letta! Mica mi metto a fare esercizi così! E cmq a me $\rho$ mi viene al quadrato! Per questo ho chiesto se non avevo difficoltà non mi sarei rivolta qui, non credi?
Ahhh ecco!! Ho trovato il mio errore! Grazie guys!! Kiss
a disposizione. Non rispondere male a ciampax però, ne ha già fatti fuori per molto meno 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo