Calcolo integrale particolare

[fausto94]

Buonasera,

devo calcolare l'integrale di \( \int_{}^{} \frac{x}{x^2+2x+2} \, dx \)

Ho provato in tutti i modi possibili, tra cui il completamento del quadrato.

Ma con la x a numeratore non riesco poi a trovare l'integrale, perchè con il completamento del quadrato dovrei ricondurmi a un arcotangente, ma la x a numeratore mi sballa tutto..

Voi avete qualche idea? Ho provato di tutto...

Grazie mille!

[pilloeffe]

Ciao fausto94,

Non mi pare particolarmente complicato:

$int frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx = frac{1}{2}int frac{2x}{x^2 + 2x + 2} dx = frac{1}{2} int frac{2x + 2 - 2}{x^2 + 2x + 2} dx = $
$ = frac{1}{2} int frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx - int frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx = frac{1}{2} ln(x^2 + 2x + 2) - int frac{1}{(x + 1)^2 + 1} dx = $
$ = frac{1}{2} ln(x^2 + 2x + 2) - arctan(x + 1) + c $

[fausto94]

Alla fine ci sono riuscito anche io... sarà stato il panico della sera prima dell'esame

Io stavo cercando le radici del denominatore, giustamente senza riuscirci.

Grazie mille comunque!