Calcolo integrale lungo una spezzata

[MaledettaAnalisiXD]

$\vecf * \vecx=(3x^2z+y)dx+(x+2yz^3)dy+(x^3+3y^2z^2)dz$

sia la $\gamma$ la spezzata congiungente i punti $(2,0,0)$,$(0,1,0)$,$(0,0,0)$ e $(1,2,-1)$.
calcolare $\int_\gamma \vecf * \vecx$

Provo a spiegarmi meglio su come lo farei.

$(2,0,0)->(0,0,0)$
$\int=0$
$(0,0,0)->(0,1,0)$
$\int=0$
$(0,1,0)->(0,0,0)$
$\int=0$
$(0,0,0)->(1,0,0)$
$\int=0$
$(1,0,0)->(1,2,0)$
$\int=2$
$(1,2,0)->(1,2,-1)$
$\int=-1-4$

[MaledettaAnalisiXD]

riedit: lascio la versione corretta per chi fosse interessato.

[gugo82]

Noto che la forma differenziale è esatta (poiché chiusa in un semplicemente connesso), dunque l'integrale sulla spezzata è uguale all'integrale sul segmento che ha per estremi i punti iniziale e finale.
Quindi, se \(F\) è una primitiva della forma:
\[
\int_{\gamma} \vec{f}\cdot \text{d}\vec{x} = F(1,2,-1)-F(2,0,0)\; .
\]
Dato che una primitiva della forma è:
\[
F(x,y,z) = x^3z+xy+y^2z^3
\]
hai:
\[
\int_{\gamma} \vec{f}\cdot \text{d}\vec{x} = (-1+2-4) - (0)=-3\; .
\]

[MaledettaAnalisiXD]

ah ecco, questa proprietà me l'ero persa.
GRAZIE