Calcolo Integrale Indefinito
Devo risolvere questo integrale attraverso il metodo delta>0
$ int_()^() (4x+12)/(x^2+10x+9)dx $
risolvendo trovo le x=-1 e x=-9
$ (4x-12)/(x^2+10x+9)=(A)/(x+9)+(B)/(x+1) $
risolvo
$ 4x-12=AX+A+BX+9B $
$ 4x-12=(A+B)X+A+9B $
risolvendo il sistema
$ { ( 4=A+B ),( -12=A+9B ):} $
mi trovo B=12/5 e A=-8/5
quindi in pratica alla fine avrò
-8/5 log(x+1)+12/5 log(x+9)+c
Però risolvendo tramite calcolatore il risultato è
6 log(x+9)-2 log(x+1)+c
Ho sbagliato a fare qualche passaggio?
Grazie
$ int_()^() (4x+12)/(x^2+10x+9)dx $
risolvendo trovo le x=-1 e x=-9
$ (4x-12)/(x^2+10x+9)=(A)/(x+9)+(B)/(x+1) $
risolvo
$ 4x-12=AX+A+BX+9B $
$ 4x-12=(A+B)X+A+9B $
risolvendo il sistema
$ { ( 4=A+B ),( -12=A+9B ):} $
mi trovo B=12/5 e A=-8/5
quindi in pratica alla fine avrò
-8/5 log(x+1)+12/5 log(x+9)+c
Però risolvendo tramite calcolatore il risultato è
6 log(x+9)-2 log(x+1)+c
Ho sbagliato a fare qualche passaggio?
Grazie
Risposte
Hai sbagliato a risolvere il sistema …
si lo stavo per scrivere..un segno meno
grazie
grazie
"axpgn":
Hai sbagliato a risolvere il sistema …
una cosa,per quanto riguarda la scelta delle x,cioè facendo A/(x+1) o A/(x+9) è la stessa cosa?
Perchè alla fine se scelgo uno o l'altro i calcoli escono invertiti
Non stai scegliendo "le x", casomai $A$ e $B$ ma è la stessa cosa … prova a risolverlo in un modo e poi nell'altro e vedrai …
Ciao yayalo17,
Si poteva anche procedere riconducendo l'integrale proposto a quelli del tipo $\int (f'(x))/(f(x)) \text{d}x = ln|f(x)| + c $, ciò che avrebbe semplificato molto il sistema:
$ \int (4x+12)/(x^2+10x+9) \text{d}x = 2 \int (2x+6)/(x^2+10x+9) \text{d}x = 2 \int (2x+10 - 4)/(x^2+10x+9) \text{d}x = $
$ = 2[\int (2x+10)/(x^2+10x+9) \text{d}x - 4 \int 1/((x+9)(x + 1)) \text{d}x] = $
$ = 2[\int (2x+10)/(x^2+10x+9) \text{d}x - 1/2 \int 1/(x + 1) \text{d}x + 1/2 \int 1/(x + 9) \text{d}x] = $
$ = 2 \int (2x+10)/(x^2+10x+9) \text{d}x - \int 1/(x + 1) \text{d}x +\int 1/(x + 9) \text{d}x = $
$ = 2 ln|x^2 + 10x + 9| - ln|x + 1| + ln|x + 9| + c = $
$ = 2 ln|x + 1| + 2 ln|x + 9| - ln|x + 1| + ln|x + 9| + c = $
$ = ln|x + 1| + 3 ln|x + 9| + c $
Si poteva anche procedere riconducendo l'integrale proposto a quelli del tipo $\int (f'(x))/(f(x)) \text{d}x = ln|f(x)| + c $, ciò che avrebbe semplificato molto il sistema:
$ \int (4x+12)/(x^2+10x+9) \text{d}x = 2 \int (2x+6)/(x^2+10x+9) \text{d}x = 2 \int (2x+10 - 4)/(x^2+10x+9) \text{d}x = $
$ = 2[\int (2x+10)/(x^2+10x+9) \text{d}x - 4 \int 1/((x+9)(x + 1)) \text{d}x] = $
$ = 2[\int (2x+10)/(x^2+10x+9) \text{d}x - 1/2 \int 1/(x + 1) \text{d}x + 1/2 \int 1/(x + 9) \text{d}x] = $
$ = 2 \int (2x+10)/(x^2+10x+9) \text{d}x - \int 1/(x + 1) \text{d}x +\int 1/(x + 9) \text{d}x = $
$ = 2 ln|x^2 + 10x + 9| - ln|x + 1| + ln|x + 9| + c = $
$ = 2 ln|x + 1| + 2 ln|x + 9| - ln|x + 1| + ln|x + 9| + c = $
$ = ln|x + 1| + 3 ln|x + 9| + c $
Che cos'è il "metodo delta >0"?
Ciao dissonance,
Immagino si riferisca agli integrali del tipo $\int (mx + n)/(ax^2 + bx + c) \text{d}x $ con $\Delta = b^2 - 4ac > 0 $ che si può trovare ad esempio qui.
Ma è piuttosto scomodo e difficile da ricordare...
Immagino si riferisca agli integrali del tipo $\int (mx + n)/(ax^2 + bx + c) \text{d}x $ con $\Delta = b^2 - 4ac > 0 $ che si può trovare ad esempio qui.
Ma è piuttosto scomodo e difficile da ricordare...
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