Calcolo integrale indefinito

[Claudiopoli]

Buonasera forum oggi facendo alcuni esercizi mi sono imbattuto in un integrale che non riesco a risolvere.

$ int_( )^() sin[arccos(xcot(alpha)/r-1 )] dx $

Dove:
$ alpha $ e r = costanti

Qualcuno può darmi una mano ?
Vi ringrazio in anticipo

[Bokonon]

Boh, la prima idea che viene in mente è una sostituzione $ax-1=cos(theta)$
Da cui $dx=-sin(theta)/ad theta$
E l'integrale diventa $int sin(arccos(cos(theta)))*-sin(theta)/ad theta=-1/a int sin^2(theta)d theta=-r/cot(alpha)int sin^2(theta)d theta$

[Claudiopoli]

grazie mille per aver risposto Anch'io avevo pensato ad una sostituzione tuttavia mi sono bloccato nel calcolare gli estremi d'integrazione ( che non ho postato per semplificare l'espressione dell'integrale). Ecco l'integrale completo:

$ int_( 0)^(2rtan(alpha) ) sin[arccos(xcot(alpha)/r-1 )] dx $

[pilloeffe]

Ciao silviogi,

Beh, per il momento lascerei perdere gli estremi di integrazione e continuerei a risolvere l'integrale indefinito al quale è già pervenuto Bokonon facendo uso della ben nota relazione trigonometrica $sin^2 \theta = (1 - cos(2\theta))/2 $
Poi torni indietro con la sostituzione e ti ricavi la soluzione generale dell'integrale indefinito in termini di $\alpha $ e $r $; a questo punto ti calcoli l'integrale definito proposto.

[Bokonon]

Beh non è una cattiva idea cambiare anche gli estremi di integrazione.
Diventa $-r/cot(alpha)int_pi^0 sin^2(theta)d theta=r/cot(alpha)int_0^pi sin^2(theta)d theta$

[Claudiopoli]

Grazie ad entrambi per le risposte. Ho proceduto calcolando l'integrale indefinito tramite sostituzione:

$ -1/2r/cot(alpha ) [int_()^() dvartheta - int_()^() cos (2vartheta) dvartheta ] $

ora gli integrali indefiniti sono banali, tuttavia il mio problema adesso sta nella sostituzione "originale"

Grazie sempre

[Bokonon]

Ma perchè scrivi a smozzichi? Scrivi tutto.
Se cambiamo anche gli estremi di integrazione:
$r/cot(alpha)int_0^pi sin^2(theta)d theta=r/(2cot(alpha))[theta-sin(theta)cos(theta)]|_0^pi=(rpi)/(2cot(alpha))$


Se invece vogliamo "tornare indietro", abbiamo $cos(theta)=cot(alpha)/r-1$ da cui $theta=arccos(cot(alpha)/r-1)$
Risolviamo $-r/cot(alpha)int sin^2(theta)d theta=-r/(2cot(alpha))[theta-sin(theta)cos(theta)]$
E sostituendo otteniamo:
$-r/(2cot(alpha))[arccos(cot(alpha)/r-1)-sin(arccos(cot(alpha)/r-1))(cot(alpha)/r-1)]|_0^(2rtan(alpha))=-r/(2cot(alpha))*-pi=(rpi)/(2cot(alpha))$

[Claudiopoli]

Grazie mille non sapevo come procedere adesso mi è chiaro. Buona serata.