Calcolo integrale indefinito

[lasroye]

Ho provato a calcolare questo integrale in vari modi (sostituzione, per parti, ...) ma non riesco a trovare la soluzione:

$ int_ ()sqrt(x^2+x+1)dx $

Mi potete aiutare a risolverlo spiegandomi anche i vari passaggi?

Grazie

[Noisemaker]

prova ponendo $\sqrt{x^2+x+1}=t-x$

[lasroye]

"Noisemaker":prova ponendo $\sqrt{x^2+x+1}=t-x$

Ho fatto questo passaggio:
$ int_() sqrt((x + 1)^2 -x) $ $ dx $
ma ora non posso sostituire $ sqrt((x + 1)^2 -x) $ con $ sqrt(t-x) $ perchè non ho la derivata $2(x+1)$

Come posso continuare?

[lasroye]

Ho provato anche a fare così:
$ int_() sqrt(x^2+x+1) $ $dx$ $= int_() sqrt((x+1/2)^2 +3/4) $ $dx$ $ = int_() sqrt(t^2 + 3/4) $ $dt$

Ma non so come continuare

Qualcuno mi può aiutare?
Grazie

[InfiniteJest]

Ciao,

é una bella bestia, molto istruttiva comunque:

Da qui procedi per parti integrando 1 come fattore.
Per risolvere l'integrale che deriva dall'integrazione per parti sommi e sottrai 3/4; trovi a questo punto un cosiddetto "integrale ciclico", cioè ritrovi a destra dell'uguale lo stesso integrale di partenza ma col meno. Portandolo a sinistra trovi quindi il risultato dividendo per 2.
Il termine da integrare che rimane (3/4) / (t^2 + 3/4) é a sua volta un integrale notevole risolubile con la sostituzione (t-x) (lo trovi svolto sia in altri post qui o anche banalmente su yahoo answers) e fa semplicemente 3/4 log ( t + sqrt( t^2 + 3/4)).

Riposta pure se hai problemi.

Ciao

[Noisemaker]

Come suggerivo, ponendo $\sqrt{x^2+x+1}=t-x$ ottieni che
\begin{align}
\sqrt{x^2+x+1}=t-x\quad&\Leftrightarrow\quad x^2+x+1 =t^2+x^2-2tx \quad\Leftrightarrow\quad x+1 =t^2 -2tx \\
&\Leftrightarrow\quad x(1+2t)=t^2-1 \quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{t^2-1}{1+2t}\\
&\Rightarrow\quad dx=\frac{2t+2t^2+2}{(1+2t)^2}\,\,dt,
\end{align}
e l'integrale diviene:
\begin{align}
\int\sqrt{x^2+x+1}\,\,dx=\int \left(t-\frac{t^2-1}{1+2t}\right)\cdot\frac{2t+2t^2+2}{(1+2t)^2}\,\,dt ...
\end{align}