Calcolo integrale: funzione di ponderazione incognita
ciao a tutti,
mi sono iscritto da poco al forum e non vi nascondo che il problema che vado a proporvi sia per me stato grosso motivo di spinta a farlo.
Il problema è tratto da una "pietra miliare" dell'insegnamento del calcolo infinitesimale nei Paesi anglosassoni, ovvero dalla seconda edizione di "Calculus", vol. 1 di T. M. Apostol (es. 12, pag. 119), problema del quale non sono riuscito a trovare il bandolo e sono quindi a chiedervi cortese aiuto.
L'argomento è quello delle medie aritmetiche, semplici e ponderate, introdotte all'interno della trattazione degli integrali; il problema è il seguente
Dati:
$f(x)=x^2$ con $[a,b]={x in RR:0<=x<=1}$
e la formula di calcolo della media ponderata a distribuzione continua
$A(f)=(\int_a^bw(x)f(x)dx)/(\int_a^bw(x)dx)$
Determinare la funzione di ponderazione continua $w(x)$ (non negativa), noto il valore di $A(f)$ nei tre casi sotto riportati, ovvero:
$A(f)=(\int_a^bw(x)f(x)dx)/(\int_a^bw(x)dx)=(\int_0^1w(x)x^2dx)/(\int_0^1w(x)dx)=k$
dove:
caso a) $k = 1/2$
caso b) $k = 3/5$
caso c) $k = 8$
Per riferimento, il risultato nei tre casi è:
caso a) $w(x) = x$
caso b) $w(x) = x^2$
caso c) $w(x) = x^3$
NOTA 1: nel testo originale, l'autore specifica che la media semplice di f(x) sull'intervallo considerato è $1/3$; non riesco a capire se possa essere lì come spunto per la soluzione;
NOTA 2: l'autore comincia, inusualmente, la trattazione del calcolo infinitesimale proprio con gli integrali; soluzioni che contemplino un eventuale uso esplicito di regole tipiche del calcolo differenziale non sono state introdotte a questo punto del testo e quindi non dovrebbero essere utilizzate.
Grazie in anticipo a chiunque volesse dedicargli del tempo.
Cordialità,
Usul
mi sono iscritto da poco al forum e non vi nascondo che il problema che vado a proporvi sia per me stato grosso motivo di spinta a farlo.
Il problema è tratto da una "pietra miliare" dell'insegnamento del calcolo infinitesimale nei Paesi anglosassoni, ovvero dalla seconda edizione di "Calculus", vol. 1 di T. M. Apostol (es. 12, pag. 119), problema del quale non sono riuscito a trovare il bandolo e sono quindi a chiedervi cortese aiuto.
L'argomento è quello delle medie aritmetiche, semplici e ponderate, introdotte all'interno della trattazione degli integrali; il problema è il seguente
Dati:
$f(x)=x^2$ con $[a,b]={x in RR:0<=x<=1}$
e la formula di calcolo della media ponderata a distribuzione continua
$A(f)=(\int_a^bw(x)f(x)dx)/(\int_a^bw(x)dx)$
Determinare la funzione di ponderazione continua $w(x)$ (non negativa), noto il valore di $A(f)$ nei tre casi sotto riportati, ovvero:
$A(f)=(\int_a^bw(x)f(x)dx)/(\int_a^bw(x)dx)=(\int_0^1w(x)x^2dx)/(\int_0^1w(x)dx)=k$
dove:
caso a) $k = 1/2$
caso b) $k = 3/5$
caso c) $k = 8$
Per riferimento, il risultato nei tre casi è:
caso a) $w(x) = x$
caso b) $w(x) = x^2$
caso c) $w(x) = x^3$
NOTA 1: nel testo originale, l'autore specifica che la media semplice di f(x) sull'intervallo considerato è $1/3$; non riesco a capire se possa essere lì come spunto per la soluzione;
NOTA 2: l'autore comincia, inusualmente, la trattazione del calcolo infinitesimale proprio con gli integrali; soluzioni che contemplino un eventuale uso esplicito di regole tipiche del calcolo differenziale non sono state introdotte a questo punto del testo e quindi non dovrebbero essere utilizzate.
Grazie in anticipo a chiunque volesse dedicargli del tempo.
Cordialità,
Usul
Risposte
Io credo, da quello che ho potuto leggere (molto velocemente) sul libro di Apostol (che odio con tutte le mie forze!) che si possa procedere così: puoi sicuramente supporre che $w(x)=x^p$ con $p\in NN$ che, sicuramente, risulta positiva su $[0,1]$. Adesso puoi usare la formula del teorema 1.15 a pagina 80 per cui
$\int_0^1 x^p\ dx=\frac{1}{p+1},\qquad\qquad \int_0^1 x^{p+2}\ dx=\frac{1}{p+3}$
e quindi devi risolvere l'equazione
${p+1}/{p+3}=k\qquad\qquad p+1=kp+3k\qquad\qquad p(1-k)=3k-1\qquad\qquad p={3k-1}/{1-k}.$
A questo punto sostituisci le $k$ fornite e trovi i valori di $p$.
NOTA: se provi a fare i calcoli ti accorgi che la terza funzione $x^3$ dovrebbe restituire come valore $k=2/3$. Credo che ci sia un errore di calcolo.
$\int_0^1 x^p\ dx=\frac{1}{p+1},\qquad\qquad \int_0^1 x^{p+2}\ dx=\frac{1}{p+3}$
e quindi devi risolvere l'equazione
${p+1}/{p+3}=k\qquad\qquad p+1=kp+3k\qquad\qquad p(1-k)=3k-1\qquad\qquad p={3k-1}/{1-k}.$
A questo punto sostituisci le $k$ fornite e trovi i valori di $p$.
NOTA: se provi a fare i calcoli ti accorgi che la terza funzione $x^3$ dovrebbe restituire come valore $k=2/3$. Credo che ci sia un errore di calcolo.
ciampax,
grazie infinite per la brillante soluzione offerta e per aver addirittura scovato l'errore di calcolo (a dire il vero al caso (c) non ero ancora arrivato, non avendo saputo risolvere i primi due). La chiave è supporre (perchè dici "sicuramente"?) che la funzione di ponderazione sia una funzione potenza ad esponente intero, elemento che nel testo di Apostol non viene minimamente accennato.
Posso infine chiederti il perchè di tanto odio nei confronti del testo di Apostol? Avresti qualche altro testo equivalente che ti sentiresti di consigliarmi?
Grazie
Usul
grazie infinite per la brillante soluzione offerta e per aver addirittura scovato l'errore di calcolo (a dire il vero al caso (c) non ero ancora arrivato, non avendo saputo risolvere i primi due). La chiave è supporre (perchè dici "sicuramente"?) che la funzione di ponderazione sia una funzione potenza ad esponente intero, elemento che nel testo di Apostol non viene minimamente accennato.
Posso infine chiederti il perchè di tanto odio nei confronti del testo di Apostol? Avresti qualche altro testo equivalente che ti sentiresti di consigliarmi?
Grazie
Usul
Per il sicuramente è stato un errore di battitura, andava messo solo il secondo!
Non mi piace Apostol perché, a mio parere e seguendo la scuola di pensiero matematica a cui faccio capo, si discosta da un certo modo moderno di spiegare l'analisi. Testi buoni? Beh, guarda nella sezione leggiti questo, ne troverai un sacco. Potrei consigliarti qualcosa che uso io a lezione, ma non so se è il caso.
Non mi piace Apostol perché, a mio parere e seguendo la scuola di pensiero matematica a cui faccio capo, si discosta da un certo modo moderno di spiegare l'analisi. Testi buoni? Beh, guarda nella sezione leggiti questo, ne troverai un sacco. Potrei consigliarti qualcosa che uso io a lezione, ma non so se è il caso.
E' sempre il caso per un buon consiglio! 
Grazie ancora,
Usul
Grazie ancora,
Usul
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