Calcolo integrale doppio

[75america]

Salve ragazzi,
sto cerando di fare questo esercizio, disegnare il domnio $D={(x,y) x-y^2+4>=0, x+y^2-4<=0}$ e calcolare
$int int_D ye^x dxdy$
Allora le due disequazioni del dominio sono due parabole con asse di simmetria parallelo all'asse x la prima ha vertice in $(-4,0)$ l'altra ha vertice in $(4,0)$
e intersecano l'asse y in $(0,-2) (0,2)$. Allora io però non ho capito se il dominio deve essere lo spazio interno o qualcos' altro, di conseguenza non riesco a fare l'integrale doppio. Mi potreste dare una mano voi.Grazie.

[adaBTTLS1]

sì, è lo spazio interno, perché la prima disequazione puoi vederla come $x>=y^2-4$, quindi è verificata dai punti "a destra" della parabola, mentre la seconda come $x<=-y^2+4$, quindi è data dai punti "a sinistra" della parabola. il dominio è l'intersezione delle due regioni. spero sia chiaro. ciao.

[75america]

l'ellisse con asse trasverso 2a=8 e asse non trasverso 2b=4?

[Sk_Anonymous]

Non sono due ellissi, ma due parabole "coricate", del tipo $x=ay^2+by+c$. Per il disegno del dominio di integrazione, fa' riferimento a quanto detto da adaBTTLS.

EDIT: mi permetto di richiamarti velocemente le curve notevoli del piano cartesiano

$x^2+y^2+ax+by+c=0$ è la circonferenza di centr $(-a/2;-b/2)$ e raggio $sqrt(a^2/4+b^2/4-c)$.

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ è un'ellisse centrata nell'origine di semiassi rispettivamente $a$ e $b$.

$y=ax^2+bx+c$ è una parabola, avente vertice in $(-b/(2a);-\Delta/(4a))$.

$x=ay^2+by+c$ è una parabola "orizzontale", avente vertice in $(-\Delta/(4a);-b/(2a))$.

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$ è un'iperbole di asintoti $y=+-b/a$. Altra iperbole notevole: $xy=1$ (che ha come asintoti le rette $y=+-x$).

Ovviamente non ho nessuna pretesa di completezza (per questo, consulta un buon libro delle superiori).

[75america]

però se prendo come dominio le loro "zone interne" è come se venisse fuori un ellisse (-4,4) sull'asse x e (-2,2) sull'asse y. Cmq anche tu mi confermi che il dominio che devo andare a considerare è quello interno

[75america]

per il dominio l'ho fatto normale rispetto all'asse y:
$-2 $int_{-2}^{2}dy int_{y^2-4}^{4-y^2} ye^x dx= int_{-2}^{2}y dy int_{y^2-4}^{4-y^2}e^x dx$
$int_{-2}^{2}y [e^x]_{y^2-4}^{4-y^2} dy$
$int_{-2}^{2} y (e^(4-y^2) - e^(y^2-4) dy$
$[y^2e(4-y^2)-y^2e(y^2-4)]_{-2}^{2}$
$4-4-(4-4)=0$
io credo di aver sbagliato.... , secondo voi è giusto?

[75america]

Allora l'ho risolto sempre come dominio normale rispetto all'asse y:
$int int _D ye^x dxdy=int_{-4}^{4}e^x dx int_{sqrt(x+4)}^{sqrt(4-x)} y dy=$
$int_{-4}^{4}e^x[y^2]_{sqrt(x+4)}^{sqrt(4-x)} dx= int_{-4}^{4} e^x 1/2 [(sqrt(4-x))^2-(sqrt(x+4))^2] dx= int_{-4}^{4} xe^x dx=$
E poi da qui non riesco a risolvere l'integrale, ma secondo voi ho fatto bene a risolverlo così. Rispondetemi per favore grazie.

[Tycos]

"75america":Allora l'ho risolto sempre come dominio normale rispetto all'asse y:
$int int _D ye^x dxdy=int_{-4}^{4}e^x dx int_{sqrt(x+4)}^{sqrt(4-x)} y dy=$
$int_{-4}^{4}e^x[y^2]_{sqrt(x+4)}^{sqrt(4-x)} dx= int_{-4}^{4} e^x 1/2 [(sqrt(4-x))^2-(sqrt(x+4))^2] dx= int_{-4}^{4} xe^x dx=$
E poi da qui non riesco a risolvere l'integrale, ma secondo voi ho fatto bene a risolverlo così. Rispondetemi per favore grazie.

stai attento agli ultimi passaggi.

io mi trovo

$1/2 int_{-4}^{4} e^x ((x + 4) - (x-4))dx = 4 (e^4 - e^-4)$

[75america]

ma come fai a trovarti così:
scusa ma come fa $sqrt(4-x)^2-sqrt(x-4)^2$ come fa a venirti 8 cioè a me esce $4-x-(x+4)$ cioè -2x
mi spieghi, grazie