Calcolo integrale doppio

[Pasticcio4]

Ho difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:
si calcoli $ int_(B)^()ysqrt(x^2+y^2)(e^(-x^2-y^2)) dxdy $

dove $ B={(x,y) in R^2:x<=0, y>=0, x^2+y^2<=1}uu {(x,y) in R^2:0<=x<=1, |y|<=|1-x|^3} $
Ho provato a suddividere l'integrale in due parti:
$ int_(-1)^(0) (int_(0)^(sqrt(1-x^2)) ysqrt(x^2+y^2)(e^(-x^2-y^2)) dy) dx + int_(0)^(1)(int_(-(1-x)^3)^((1-x)^3) ysqrt(x^2+y^2)(e^(-x^2-y^2)) dy ) dx $

ho provato ad operare con una sostituzione ponendo t=x^2+y^2, ma non riesco ad andare avanti con lo svolgimento dell'esercizio.
qualcuno può aiutarmi?
grazie

[HSIN]

Ciao, per il primo dominio prova a passare in coordinate polari. Per quanto riguarda il secondo dominio puoi notare che l'integrando è dispari rispetto alla coordinata y e che il dominio è y-simmetrico

[cooper1]

in alternativa, per il secondo integrale, alla soluzione elegante e veloce proposta da HSIN puoi fare i conti. in tal caso puoi prendere $ ye^(-y^2) $ come differenziale e risolvere per parti. facendo una piccola sostituzione per alleggerire la notazione abbiamo quindi che:
$ int e^psqrt(x^2-p)* dp = -1/2 e^psqrt(x^2-p)+1/2int-e^p/(2sqrt(x^2-p))dp $
a questo punto risolvi il secondo integrale ancora per parti tenendo presente che $ int-1/(2sqrt(x^2-p))=sqrt(x^2-p) $
a questo punto dovresti poter arrivare da solo alla soluzione.
come vedi comunque sono tanti conti ed è meglio il metodo proposto prima.

[Pasticcio4]

dunque passando alle coordinate polari per il primo dominio ottengo:

$ int_(pi/2)^(pi)(int_(0)^(1) rho^3senvarthetae^(-rho^2) drho )dvartheta $ ?

[cooper1]

si

[Pasticcio4]

Se non ho fatto qualche errore di calcolo dovrebbe venire 1/2e

[cooper1]

no viene $1/2-1/e$

[Pasticcio4]

Grazie