Calcolo integrale di superficie
Buona Epifania a tutti.
Avevo già proposto questo esercizio, ho provato a rifarlo, ma qualcosa non torna.
Se avete la pazienza di seguirmi, vi posto i passaggi che ho svolto:
Intanto il testo chiede: Calcolare $ int_sumxdS $ con $ sum={(x,y,z):4z^2+(y-x)^2<=1 ,x+y+2z=1} $
Esplicitando la z nella seconda equazione ed elevando al quadrato ottengo: $ 2z=1-x-y $ $ 4z^2=(1+x^2 +y^2-2x-2y+2xy) $
Vado a sostituire nella prima disequazione ed ottengo dopo varie semplificazioni: $ x^2+y^2-x-y<=0 $
Ossia una circonferenza $ (x-1/2)^2+(y-1/2)^2<=1/2 $
Se volessi passare a coordinate polari, deduco gli estremi $ 0<=rho<=sqrt2 /2 $ , $ 0<=theta<=2 pi $
Se S(x,y)= (x,y,g(xy)) con g(x,y)= $ 1/2-1/2 x-1/2 y $ trovo il vettore normale dal prodotto vettoriale delle derivate parziali di g(x,y): $ {: ( i , j , k ),( 1 , 0 , -1/2 ),( 0 , 1 , -1/2 ) :} $ = $ (1/2 ,1/2, 1) ->||N||=sqrt6 /2 $
Per cui: $ int_sumxdS=sqrt6/2 intxdxdy $ che passando a coordinate polari, tenendo conto del jacobiano di cambiamento variabili, dovrebbe essere: $ sqrt6/2 int_0^(sqrt2/2) int_0^(2pi) rho^2 cos(theta) drho d theta $
Fin qui ci sono degli errori ? anche perchè integrando tra 0 e 2 $pi$ ottengo simmetricamente zero, il che non mi convince assolutamente
Grazie ancora per la pazienza !!
Avevo già proposto questo esercizio, ho provato a rifarlo, ma qualcosa non torna.
Se avete la pazienza di seguirmi, vi posto i passaggi che ho svolto:
Intanto il testo chiede: Calcolare $ int_sumxdS $ con $ sum={(x,y,z):4z^2+(y-x)^2<=1 ,x+y+2z=1} $
Esplicitando la z nella seconda equazione ed elevando al quadrato ottengo: $ 2z=1-x-y $ $ 4z^2=(1+x^2 +y^2-2x-2y+2xy) $
Vado a sostituire nella prima disequazione ed ottengo dopo varie semplificazioni: $ x^2+y^2-x-y<=0 $
Ossia una circonferenza $ (x-1/2)^2+(y-1/2)^2<=1/2 $
Se volessi passare a coordinate polari, deduco gli estremi $ 0<=rho<=sqrt2 /2 $ , $ 0<=theta<=2 pi $
Se S(x,y)= (x,y,g(xy)) con g(x,y)= $ 1/2-1/2 x-1/2 y $ trovo il vettore normale dal prodotto vettoriale delle derivate parziali di g(x,y): $ {: ( i , j , k ),( 1 , 0 , -1/2 ),( 0 , 1 , -1/2 ) :} $ = $ (1/2 ,1/2, 1) ->||N||=sqrt6 /2 $
Per cui: $ int_sumxdS=sqrt6/2 intxdxdy $ che passando a coordinate polari, tenendo conto del jacobiano di cambiamento variabili, dovrebbe essere: $ sqrt6/2 int_0^(sqrt2/2) int_0^(2pi) rho^2 cos(theta) drho d theta $
Fin qui ci sono degli errori ? anche perchè integrando tra 0 e 2 $pi$ ottengo simmetricamente zero, il che non mi convince assolutamente
Grazie ancora per la pazienza !!
Risposte
Grazie anzitutto per la risposta, infatti ho totalmente dimenticato che la circonferenza non ha centro nell'origine 
Difatti partendo da $ x=1/2+rho cos theta , y=1/2 +rho sin theta $ sostituendo e risolvendo ottengo: $ 1/2+rho^2<=0 $
ovvero: $ -sqrt2 /2 <=rho<=+sqrt2 /2 $
e l'integrale diventa: $ sqrt6/2int_(-sqrt2/2) ^ (+sqrt2/2) int_0 ^(2pi) rho (1/2 +rho^2 cos theta) d rho d theta $
Spezzandoli in due integrali e svolgendo il primo diventa
$ sqrt6/2 int_0 ^(2 pi) d theta int _(-sqrt2/2) ^(+sqrt2/2) rho /2 d rho d theta=sqrt6/2 cdot 2 pi cdot [rho^2 /4]_(-sqrt2/2) ^(+sqrt2/2)=sqrt6/4 pi $
Il secondo viene zero perchè $ int_0 ^(2 pi) cos theta d theta=0 $
Quindi se non erro avrei terminato l'esercizio.
Grazie
Difatti partendo da $ x=1/2+rho cos theta , y=1/2 +rho sin theta $ sostituendo e risolvendo ottengo: $ 1/2+rho^2<=0 $
ovvero: $ -sqrt2 /2 <=rho<=+sqrt2 /2 $
e l'integrale diventa: $ sqrt6/2int_(-sqrt2/2) ^ (+sqrt2/2) int_0 ^(2pi) rho (1/2 +rho^2 cos theta) d rho d theta $
Spezzandoli in due integrali e svolgendo il primo diventa
$ sqrt6/2 int_0 ^(2 pi) d theta int _(-sqrt2/2) ^(+sqrt2/2) rho /2 d rho d theta=sqrt6/2 cdot 2 pi cdot [rho^2 /4]_(-sqrt2/2) ^(+sqrt2/2)=sqrt6/4 pi $
Il secondo viene zero perchè $ int_0 ^(2 pi) cos theta d theta=0 $
Quindi se non erro avrei terminato l'esercizio.
Grazie
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