Calcolo integrale di linea data una forma differenziale
Ciao, Non riesco ad affrontare la seguente tipologia di esercizi che a volte il mio prof. inserisce nel compiti d'esame di Analisi Matematica II.
Data la forma differenziale:
\( \frac{\text{dx} \left(4 y^2-x^2\right)}{\left(x^2+4 y^2\right)^2}-\frac{8 \text{dy} \text{xy}}{\left(x^2+4
y^2\right)^2} \)
calcolare l'integrale di w su l, dove l è la curva di equazione:
\( (\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right) t+1 , \frac{t}{2 \sqrt{2}}) \)
con t appartenente all'intervallo [0,1].
Come imposto il problema? Vorrei capire bene come si ragiona. Grazie in anticipo!
Data la forma differenziale:
\( \frac{\text{dx} \left(4 y^2-x^2\right)}{\left(x^2+4 y^2\right)^2}-\frac{8 \text{dy} \text{xy}}{\left(x^2+4
y^2\right)^2} \)
calcolare l'integrale di w su l, dove l è la curva di equazione:
\( (\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right) t+1 , \frac{t}{2 \sqrt{2}}) \)
con t appartenente all'intervallo [0,1].
Come imposto il problema? Vorrei capire bene come si ragiona. Grazie in anticipo!
Risposte
C'è un vasto capitolo di teoria relativo a forme differenziali chiuse/esatte e integrazione su curve in domini "semplicemente connessi", dove "esattezza" e "chiusura" della forma sono strettamente correlate. Lo conosci?
Ciao ciampax! Io sono in cerca più che altro di esercizi di questo genere .. puoi aiutarmi?
Ho capito cosa vuoi: ma per affrontare questa tipologia di esercizi è necessario conoscere un paio di fatti fondamentali di Teoria che servono, in soldoni, a svolgere praticamente gli esercizi. Quindi ripeto: conosci queste cose, o no?
Ho iniziato giusto oggi con questo argomento! Magari se hai da propormi qualche buona dispensa di teoria oltre che esercizi mi faresti un grandissimo favore!
Più che dispense, come ti dicevo, è una questione di conoscere 3 o 4 cose: in sostanza, cosa sia una forma chiusa e una forma esatta, sotto quali condizioni una forma chiusa risulta anche esatta (il viceversa è sempre vero!), alcune proprietà "equivalenti" che legano le forme chiuse ed esatte con l'integrazione delle stesse. Credo che sul tuo libro/appunti/dispense/fogli rabberciati trovati sotto il banco durante una lezione, dovresti averle scritte queste cose.
Una volta capite queste, affrontare gli esercizi è una semplice applicazione di questi fatti:
1) determini se la forma $\omega$ è chiusa;
2) determini se valgono le condizioni affinché essa sia anche esatta;
3) se lo è, trovi una primitiva della forma, cioè una funzione $f$ tale che $df=\omega$;
4) l'integrale $\int_\gamma \omega$ equivale a calcolare $f(B)-f(A)$ essendo $A, B$, rispettivamente, i punti iniziale e finale dellacurva $\gamma$, percorsa seguendo la parametrizzazione.
Una volta capite queste, affrontare gli esercizi è una semplice applicazione di questi fatti:
1) determini se la forma $\omega$ è chiusa;
2) determini se valgono le condizioni affinché essa sia anche esatta;
3) se lo è, trovi una primitiva della forma, cioè una funzione $f$ tale che $df=\omega$;
4) l'integrale $\int_\gamma \omega$ equivale a calcolare $f(B)-f(A)$ essendo $A, B$, rispettivamente, i punti iniziale e finale dellacurva $\gamma$, percorsa seguendo la parametrizzazione.
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