Calcolo integrale densità bielettronica
Ciao ragazzi! siamo tre studenti di fisica tanto disperati quanto a corto di analisi. Avremmo bisogno di calcolare l'integrale di una densità bielettronica, nello specifico:
[tex]\int d \vec r_1 \frac{e^{-r_1^2}}{|\vec r_2 - \vec r_1|^2}[/tex]
Il professore di una soluzione che coinvolga l'integrazione di funzioni iperboliche
a presto
[tex]\int d \vec r_1 \frac{e^{-r_1^2}}{|\vec r_2 - \vec r_1|^2}[/tex]
Il professore di una soluzione che coinvolga l'integrazione di funzioni iperboliche
a presto
Risposte
Che vuol dire \(e^{-r_1^2}\) se \(\vec{r}_1\) è un vettore?
Sarà mica che \(r_1=|\vec{r}_1|\)?
Sarà mica che \(r_1=|\vec{r}_1|\)?
esatto si tratta di un modulo!
Se $r_2 > > r_1$ è facile, se lo devi calcolare in modo esatto non saprei.
In elettromagnetismo ne ho visti parecchi di integrali del genere, ma di calcoli esatti davvero pochi!
In elettromagnetismo ne ho visti parecchi di integrali del genere, ma di calcoli esatti davvero pochi!
Visto che i pedici servono e non possono essere occupati a casaccio, mi prendo la briga di riscrivere il tuo integrale come:
\[
\int \text{d} \vec{\rho}\ \frac{\exp (-|\vec{\rho}|^2)}{|\vec{r}-\vec{\rho}|^2} = \begin{pmatrix} \int \text{d} \rho_1\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2} \\
\int \text{d} \rho_2\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2}\\
\int \text{d} \rho_3\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2} \end{pmatrix}
\]
da cui segue che basterebbe calcolare un solo integrale per ottenere gli altri.
Prendiamo a titolo d'esempio il primo:
\[
\int \text{d} \rho_1\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2} = \exp (-u(\rho_2,\rho_3))\ \int \text{d} \rho_1\ \frac{\exp (-\rho_1^2)}{(r_1-\rho_1)^2+u(r_2-\rho_2,r_3-\rho_3)}
\]
ove si è posto per comodità:
\[
u(x,y):=x^2+y^2\; .
\]
Ma l'integrale all'ultimo membro della precedente non è calcolabile elementarmente, quindi "a mano" l'integrale non si svolge con nessuna delle tecniche di Analisi I.
Probabilmente, quell'integrale può essere ricondotto ad una forma un po' più decente con qualche sostituzione e si può provare ad usare qualche funzione speciale per scriverlo in maniera compatta... Tuttavia non posso darvi alcuna certezza.
Potreste provare a cercare qualcosa di simile sull'utilissimo (per i fisici) Gradshteyn-Rizhyk, Table of Integrals, Series and Products.
\[
\int \text{d} \vec{\rho}\ \frac{\exp (-|\vec{\rho}|^2)}{|\vec{r}-\vec{\rho}|^2} = \begin{pmatrix} \int \text{d} \rho_1\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2} \\
\int \text{d} \rho_2\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2}\\
\int \text{d} \rho_3\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2} \end{pmatrix}
\]
da cui segue che basterebbe calcolare un solo integrale per ottenere gli altri.
Prendiamo a titolo d'esempio il primo:
\[
\int \text{d} \rho_1\ \frac{\exp (-(\rho_1^2+\rho_2^2+\rho_3^2))}{(r_1-\rho_1)^2+(r_2-\rho_2)^2+(r_3-\rho_3)^2} = \exp (-u(\rho_2,\rho_3))\ \int \text{d} \rho_1\ \frac{\exp (-\rho_1^2)}{(r_1-\rho_1)^2+u(r_2-\rho_2,r_3-\rho_3)}
\]
ove si è posto per comodità:
\[
u(x,y):=x^2+y^2\; .
\]
Ma l'integrale all'ultimo membro della precedente non è calcolabile elementarmente, quindi "a mano" l'integrale non si svolge con nessuna delle tecniche di Analisi I.
Probabilmente, quell'integrale può essere ricondotto ad una forma un po' più decente con qualche sostituzione e si può provare ad usare qualche funzione speciale per scriverlo in maniera compatta... Tuttavia non posso darvi alcuna certezza.
Potreste provare a cercare qualcosa di simile sull'utilissimo (per i fisici) Gradshteyn-Rizhyk, Table of Integrals, Series and Products.
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