Calcolo integrale del rapporto tra funzione e sua derivata
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno di alcune conferme in merito al calcolo di un integrale.
Vi posto nel seguito i miei ragionamenti.
L'integrale da calcolare è il seguente:
\(\displaystyle \int_{-x_1}^{x_2} \frac{Ax}{B-C-Dx^2} \, dx \)
dove \(\displaystyle A,B,C,D \) sono delle costanti.
Cerco di ricondurmi alla seguente:
\(\displaystyle \int_{-x_1}^{x_2} \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \)
che come noto è pari a:
\(\displaystyle ln(f(x)) \)
Detto questo, moltiplico numeratore e denominatore per la quantità \(\displaystyle -2D \), ed ottengo:
\(\displaystyle \int_{-x_1}^{x_2} \frac{-2ADx}{-2D(B-C-Dx^2)} \, dx \)
da cui:
\(\displaystyle \frac{A}{-2D} \int_{-x_1}^{x_2} \frac{-2Dx}{B-C-Dx^2} \, dx \)
da cui:
\(\displaystyle \frac{-A}{2D} ln(B-C-Dx^2) \)
ovviamente calcolato negli estremi di integrazione \(\displaystyle x_1 \) ed \(\displaystyle x_2 \).
E' corretto?
Scusate se non sono stato estremamente rigoroso nei passaggi, ma spero di essere stato chiaro.
Grazie.
Avrei bisogno di alcune conferme in merito al calcolo di un integrale.
Vi posto nel seguito i miei ragionamenti.
L'integrale da calcolare è il seguente:
\(\displaystyle \int_{-x_1}^{x_2} \frac{Ax}{B-C-Dx^2} \, dx \)
dove \(\displaystyle A,B,C,D \) sono delle costanti.
Cerco di ricondurmi alla seguente:
\(\displaystyle \int_{-x_1}^{x_2} \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \)
che come noto è pari a:
\(\displaystyle ln(f(x)) \)
Detto questo, moltiplico numeratore e denominatore per la quantità \(\displaystyle -2D \), ed ottengo:
\(\displaystyle \int_{-x_1}^{x_2} \frac{-2ADx}{-2D(B-C-Dx^2)} \, dx \)
da cui:
\(\displaystyle \frac{A}{-2D} \int_{-x_1}^{x_2} \frac{-2Dx}{B-C-Dx^2} \, dx \)
da cui:
\(\displaystyle \frac{-A}{2D} ln(B-C-Dx^2) \)
ovviamente calcolato negli estremi di integrazione \(\displaystyle x_1 \) ed \(\displaystyle x_2 \).
E' corretto?
Scusate se non sono stato estremamente rigoroso nei passaggi, ma spero di essere stato chiaro.
Grazie.
Risposte
Ciao merendina_89,
Mi pare di sì, solo che non capisco lo scopo di avere $B - C $, che è una costante e si può porre $E := B - C $
Non è che per caso ti sei scordato una $x$ accanto alla $C $ ? Eviterei poi anche tutti quei segni $ - $ che non fanno altro che confonderti le idee...
$ int frac{Ax}{Bx^2 + Cx + D} dx = frac{A}{2B} int frac{2Bx}{Bx^2 + Cx + D} dx = frac{A}{2B} int frac{2Bx + C - C}{Bx^2 + Cx + D} dx = $
$ = frac{A}{2B} int frac{2Bx + C}{Bx^2 + Cx + D} dx - frac{AC}{2B} int frac{dx}{Bx^2 + Cx + D} = $
$ = frac{A}{2B} ln|Bx^2 + Cx + D| - frac{AC}{2B} int frac{dx}{Bx^2 + Cx + D} $
Nel caso particolare in cui $C = 0 $ si ha:
$ int frac{Ax}{Bx^2 + D} dx = frac{A}{2B} ln|Bx^2 + D| + k $
"merendina_89":
E' corretto?
Mi pare di sì, solo che non capisco lo scopo di avere $B - C $, che è una costante e si può porre $E := B - C $
Non è che per caso ti sei scordato una $x$ accanto alla $C $ ? Eviterei poi anche tutti quei segni $ - $ che non fanno altro che confonderti le idee...
$ int frac{Ax}{Bx^2 + Cx + D} dx = frac{A}{2B} int frac{2Bx}{Bx^2 + Cx + D} dx = frac{A}{2B} int frac{2Bx + C - C}{Bx^2 + Cx + D} dx = $
$ = frac{A}{2B} int frac{2Bx + C}{Bx^2 + Cx + D} dx - frac{AC}{2B} int frac{dx}{Bx^2 + Cx + D} = $
$ = frac{A}{2B} ln|Bx^2 + Cx + D| - frac{AC}{2B} int frac{dx}{Bx^2 + Cx + D} $
Nel caso particolare in cui $C = 0 $ si ha:
$ int frac{Ax}{Bx^2 + D} dx = frac{A}{2B} ln|Bx^2 + D| + k $
Ciao pilloeffe, innanzitutto grazie mille per la risposta.
In realtà non ho sbagliato, il termine \(\displaystyle C \) è veramente una costante, e mi rendo conto che espresso così è un pochino "fuorviante".
L'integrale che devo calcolare è associato allo spazio percorso da un veicolo sotto tali condizioni, e tralasciando gli aspetti fisici, l'integrale che dovrei calcolare è il seguente:
\(\displaystyle S=\int_{V_1}^{V_2} \frac{MV}{\frac{T_pi_gi_0}{r_d}-Mgf_r-0,5{\rho} C_dA_fV^2}\, dV \)
L'integrale che ho scritto sopra ha come variabile di integrazione la velocità \(\displaystyle V \), e tutte le grandezze che ho riportato di sopra sono delle costanti.
Pongo pertanto:
\(\displaystyle A=M, B=\frac{T_pi_gi_0}{r_d}, C=-Mgf_r, D=-0,5{\rho} C_dA_fV^2 \)
Pertanto, sulla base di quello che ho scritto precedentemente, il calcolo dell'integrale dovrebbe essere il seguente:
\(\displaystyle S=\frac{M}{-{\rho} C_dA_f} log_{}[{\frac{T_pi_gi_0}{r_d}-Mgf_r-0,5{\rho} C_dA_fV_2^2}]\)
dove ho supposto che la velocità iniziale fosse corretta.
Da un solo punto di vista matematico, ciò è corretto?
Indipendentemente dal fatto che possano esserci delle cose "strane", come ad esempio il fatto che verrebbe uno spazio negativo.
In realtà non ho sbagliato, il termine \(\displaystyle C \) è veramente una costante, e mi rendo conto che espresso così è un pochino "fuorviante".
L'integrale che devo calcolare è associato allo spazio percorso da un veicolo sotto tali condizioni, e tralasciando gli aspetti fisici, l'integrale che dovrei calcolare è il seguente:
\(\displaystyle S=\int_{V_1}^{V_2} \frac{MV}{\frac{T_pi_gi_0}{r_d}-Mgf_r-0,5{\rho} C_dA_fV^2}\, dV \)
L'integrale che ho scritto sopra ha come variabile di integrazione la velocità \(\displaystyle V \), e tutte le grandezze che ho riportato di sopra sono delle costanti.
Pongo pertanto:
\(\displaystyle A=M, B=\frac{T_pi_gi_0}{r_d}, C=-Mgf_r, D=-0,5{\rho} C_dA_fV^2 \)
Pertanto, sulla base di quello che ho scritto precedentemente, il calcolo dell'integrale dovrebbe essere il seguente:
\(\displaystyle S=\frac{M}{-{\rho} C_dA_f} log_{}[{\frac{T_pi_gi_0}{r_d}-Mgf_r-0,5{\rho} C_dA_fV_2^2}]\)
dove ho supposto che la velocità iniziale fosse corretta.
Da un solo punto di vista matematico, ciò è corretto?
Indipendentemente dal fatto che possano esserci delle cose "strane", come ad esempio il fatto che verrebbe uno spazio negativo.
"merendina_89":
Ciao pilloeffe, innanzitutto grazie mille per la risposta.
Prego.
Se l'integrale è quello che hai scritto, avrei posto
$ A := M $
$ B := -0,5 \rho C_dA_f $
$ D := frac{T_p i_g i_0}{r_d} - Mgf_r $
(occhio che nella posizione di $D $ che hai scritto per errore hai inglobato anche la variable $V^2 $...
) ottenendo così l'integrale seguente:$ S = int_{V_1}^{V_2} frac{AV}{BV^2 + D} dV = frac{A}{2B}[ln|BV^2 + D|]_{V_1}^{V_2} = $
$ = - frac{M}{\rho C_dA_f}[ln|- 0,5 \rho C_dA_f V_2^2 + frac{T_p i_g i_0}{r_d} - Mgf_r| - ln|- 0,5 \rho C_dA_f V_1^2 + frac{T_p i_g i_0}{r_d} - Mgf_r|] $
"merendina_89":
dove ho supposto che la velocità iniziale fosse corretta.
Cosa intendi dire ? La velocità iniziale chi è, $ V_1 $ ?
"merendina_89":
Da un solo punto di vista matematico, ciò è corretto?
Direi di no, a meno che per motivi che al momento mi sono oscuri l'argomento del primo logaritmo del risultato che ho scritto non sia positivo e la velocità $V_1 $ non sia tale da annullare il secondo logaritmo del risultato che ho scritto...
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