Calcolo integrale definito
Ciao scusate qualcuno saprebbe suggerirmi un modo per calcolare questo integrale definito? L'unica cosa che mi viene in mente è sostituire seno e coseno con tangente di x/2, ma mi sembra un procedimento troppo lungo. In più facendo questa sostituzione ho dei problemi con il cambio degli estremi di integrazione..
Grazie
Grazie
Risposte
Per prima cosa bisogna trattare quel modulo. Sapendo che:
\[ \cos (x) \begin{cases} \geq 0, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\ < 0, & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \end{cases} \]
si ha che:
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (|\cos (x) | - 2 \right)^3} \, \mathrm d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) - 2 \right)^3} \, \mathrm d x + \left[ - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + 2 \right)^3} \, \mathrm d x \right ] \]
avendo sfruttato la linearità dell'integrale e la definizione di valore assoluto. Ora, per quanto riguarda l'integrale indefinito:
\[ \int \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + a \right)^3} \, \mathrm d x \]
con \(a =2, -2 \), si può sfruttare la sostituzione \(t = \cos (x) \implies \mathrm dt = - \sin (x) \, \mathrm d x \). In questo modo, si ha:
\[ \int \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + a \right)^3} \, \mathrm d x \overset{ t = \cos (x)}{=} - \int \frac{ 1} {\left (t + a \right)^3} \, \mathrm d t = \frac{1}{2} \frac{1}{(t+a)^2} + c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Ora, risostituendo:
\[ \frac{1}{2} \frac{1}{(t+a)^2} = \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) +a)^2} \]
e quindi:
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (|\cos (x) | - 2 \right)^3} \, \mathrm d x = \Bigg. \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) -2 )^2} \Bigg |_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \Bigg. \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) + 2 )^2} \Bigg |_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = - \frac{3}{4} \]
\[ \cos (x) \begin{cases} \geq 0, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\ < 0, & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \end{cases} \]
si ha che:
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (|\cos (x) | - 2 \right)^3} \, \mathrm d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) - 2 \right)^3} \, \mathrm d x + \left[ - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + 2 \right)^3} \, \mathrm d x \right ] \]
avendo sfruttato la linearità dell'integrale e la definizione di valore assoluto. Ora, per quanto riguarda l'integrale indefinito:
\[ \int \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + a \right)^3} \, \mathrm d x \]
con \(a =2, -2 \), si può sfruttare la sostituzione \(t = \cos (x) \implies \mathrm dt = - \sin (x) \, \mathrm d x \). In questo modo, si ha:
\[ \int \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + a \right)^3} \, \mathrm d x \overset{ t = \cos (x)}{=} - \int \frac{ 1} {\left (t + a \right)^3} \, \mathrm d t = \frac{1}{2} \frac{1}{(t+a)^2} + c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Ora, risostituendo:
\[ \frac{1}{2} \frac{1}{(t+a)^2} = \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) +a)^2} \]
e quindi:
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (|\cos (x) | - 2 \right)^3} \, \mathrm d x = \Bigg. \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) -2 )^2} \Bigg |_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \Bigg. \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) + 2 )^2} \Bigg |_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = - \frac{3}{4} \]
È un integrale e basta, non ha niente di definito o meno.
"Vulplasir":
È un integrale e basta, non ha niente di definito o meno.
Boh, sui libri di Analisi Matematica ho sempre visto che viene distinto il concetto di integrale definito, di cui questo è un esempio.
In genere con "integrale" si indica quello "definito"; l'integrale "indefinito" è l'antiderivata. Non vedo però che male ci sia a specificarlo.
"Berationalgetreal":
Per prima cosa bisogna trattare quel modulo. Sapendo che:
\[ \cos (x) \begin{cases} \geq 0, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\ < 0, & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \end{cases} \]
si ha che:
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (|\cos (x) | - 2 \right)^3} \, \mathrm d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) - 2 \right)^3} \, \mathrm d x + \left[ - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + 2 \right)^3} \, \mathrm d x \right ] \]
avendo sfruttato la linearità dell'integrale e la definizione di valore assoluto. Ora, per quanto riguarda l'integrale indefinito:
\[ \int \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + a \right)^3} \, \mathrm d x \]
con \(a =2, -2 \), si può sfruttare la sostituzione \(t = \cos (x) \implies \mathrm dt = - \sin (x) \, \mathrm d x \). In questo modo, si ha:
\[ \int \frac{ \sin (x)} {\left (\cos (x) + a \right)^3} \, \mathrm d x \overset{ t = \cos (x)}{=} - \int \frac{ 1} {\left (t + a \right)^3} \, \mathrm d t = \frac{1}{2} \frac{1}{(t+a)^2} + c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Ora, risostituendo:
\[ \frac{1}{2} \frac{1}{(t+a)^2} = \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) +a)^2} \]
e quindi:
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{ \sin (x)} {\left (|\cos (x) | - 2 \right)^3} \, \mathrm d x = \Bigg. \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) -2 )^2} \Bigg |_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \Bigg. \frac{1}{2} \frac{1}{(\cos (x) + 2 )^2} \Bigg |_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = - \frac{3}{4} \]
Grazie mille ho capito!
Perché il concetto di integrale indefinito come insieme delle primitive di una funzione non ha nessun legame con il concetto di integrazione, infatti quando si parla di integrazione in $RR^n$ stranamente spariscono gli "integrali indefiniti"...basta dire semplicemente "primitive", mentre "antiderivata" è una americanata che non si può sentire
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