Calcolo integrale definito
Salve a tutti! Sono alle prime armi con gli integrali, e vorrei chiedervi una mano per l'impostazione di questo esercizio, in modo che poi riesca a risolverne anche altri.
Il primo esercizio mi chiede di dimostrare l'integrabilità, e quindi di calcolare l'integrale seguente:
$ [x^(3)+x]e^[-x^(2)]$ nell'intervallo [1,+infinito)
Per quanto riguarda il primo punto,cioè dimostrarne l'integrabilità, ho calcolato il limite per x-->+infinito della funzione, e ho verificato che venisse un infinitesimo di ordine maggiore di alfa, con alfa maggiore di 1. ( può andar bene? )
Ma andando a calcolare l'integrale trovo molte difficoltà! potete aiutarmi?
Vi ringrazio in anticipo!
Il primo esercizio mi chiede di dimostrare l'integrabilità, e quindi di calcolare l'integrale seguente:
$ [x^(3)+x]e^[-x^(2)]$ nell'intervallo [1,+infinito)
Per quanto riguarda il primo punto,cioè dimostrarne l'integrabilità, ho calcolato il limite per x-->+infinito della funzione, e ho verificato che venisse un infinitesimo di ordine maggiore di alfa, con alfa maggiore di 1. ( può andar bene? )
Ma andando a calcolare l'integrale trovo molte difficoltà! potete aiutarmi?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Poni $x^2=t$, sostituisci e poi integra per parti.
$\int x^3 e^(-x^2)dx + \int xe^(-x) dx$ e integri per parti consideri $x^3$ e $x$ le $f(x)$ ed $e^(-x^2)$ la $g'(x)$.
La formula per l'integrazione per parti è $f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) dx$
La formula per l'integrazione per parti è $f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) dx$
Ma proseguo in questo modo pur trattandosi di un integrale definito? una volta integrato per parti come procedo avendo i due estremi? scusate, l'integrale è un argomento che mi è abbastanza antipatico.
La formula corretta, per gli integrali definiti, è la seguente:
$\int_a^b f(x)\ g'(x)\ dx=[f(x)\ g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)\ g(x)\ dx$
Ovviamente, la sostituzione di $b=+\infty$ va pensata come un passaggio al limite (cosa che va fatta essendo questo un integrale improprio).
$\int_a^b f(x)\ g'(x)\ dx=[f(x)\ g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)\ g(x)\ dx$
Ovviamente, la sostituzione di $b=+\infty$ va pensata come un passaggio al limite (cosa che va fatta essendo questo un integrale improprio).
"FrancescoMi":
$\int x^3 e^(-x^2)dx + \int xe^(-x^2) dx$ e integri per parti consideri $x^3$ e $x$ le $f(x)$ ed $e^(-x^2)$ la $g'(x)$.
La formula per l'integrazione per parti è $f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) dx$
Scusate se mi imbuco in questa discussione ma mi sono divertito a risolvere l'integrale e, a meno che non abbia commesso qualche cavolata pazzesca, l'ho risolto con molti meno passaggi che comportano da quelli che sono stati suggeriti. In particolare, il secondo integrale $\int xe^(-x^2) dx$ è diretto, visto che il numeratore è la derivata del denominatore (manca solo il 2 e il segno meno). La derivata di $1/(e^(x^2)) = - (2x)/e^(x^2)$; o sbaglio?
Quindi $\int x/e^(x^2) dx = - 1/(2e^(x^2))$
Con questa osservazione noto che il primo integrale:
$\int x^3 e^(-x^2)dx = \int (x/e^(x^2))x^2dx$
integro per parti considerando $g'(x) = (x/e^(x^2))$ e il gioco è fatto.
Grazie mille, mi siete stati di enorme aiuto!
Sono riuscita a risolvere l'integrale!
posso chiedervi una mano per un altro esercizio qui, o è necessario che apra un altro post?
Sono riuscita a risolvere l'integrale!
posso chiedervi una mano per un altro esercizio qui, o è necessario che apra un altro post?
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