Calcolo integrale con metodo dei residui
Ciao a tutti. Volevo proporvi questo integrale, con parziale svolgimento, per vedere se è stato o meno svolto correttamente.
$int_(from -\pi/2 to \pi/2) \frac{sin(x)}{2sin(x)-1}dx$
Ho posto $z = e^(ix)$ e calcolato $dz = i e^(ix) dx$ ==> $dz/(iz) = dx$
Inoltre so che $sin(x) = 1/(2i) (z - 1/z)$
In questo modo ho:
$sin(x)/(2sin(x) - 1) dx = 1/(2i) (z² - 1)/[z(z² - iz - 1)] dz$
π/2
∫ sin(x)/(2sin(x) - 1) dx =
-π/2
∫ (z² - 1)/[2iz(z² - iz - 1)] dz
Tuttavia, ho qualche dubbio su come proseguire ora. Gli estremi di integrazione sono sempre $-\pi/2, \pi/2$? in generale, come faccio a passare ad una circonferenza unitaria? nel caso non passassi a questa circonferenza, non potrei rimanere in $-\pi/2, \pi/2$? vi ringrazio per l'aiuto.
Alex
$int_(from -\pi/2 to \pi/2) \frac{sin(x)}{2sin(x)-1}dx$
Ho posto $z = e^(ix)$ e calcolato $dz = i e^(ix) dx$ ==> $dz/(iz) = dx$
Inoltre so che $sin(x) = 1/(2i) (z - 1/z)$
In questo modo ho:
$sin(x)/(2sin(x) - 1) dx = 1/(2i) (z² - 1)/[z(z² - iz - 1)] dz$
π/2
∫ sin(x)/(2sin(x) - 1) dx =
-π/2
∫ (z² - 1)/[2iz(z² - iz - 1)] dz
Tuttavia, ho qualche dubbio su come proseguire ora. Gli estremi di integrazione sono sempre $-\pi/2, \pi/2$? in generale, come faccio a passare ad una circonferenza unitaria? nel caso non passassi a questa circonferenza, non potrei rimanere in $-\pi/2, \pi/2$? vi ringrazio per l'aiuto.
Alex
Risposte
Devi trasformare la funzione integranda, ma anche gli estremi di integrazione.
Gli estremi di integrazione sono ora \(\displaystyle {z}={{e}}^{{{i}{\frac{\pi}{{2}}}}} \) e \(\displaystyle {z}={{e}}^{{{-i}{\frac{\pi}{{2}}}}} \).
Gli estremi di integrazione sono ora \(\displaystyle {z}={{e}}^{{{i}{\frac{\pi}{{2}}}}} \) e \(\displaystyle {z}={{e}}^{{{-i}{\frac{\pi}{{2}}}}} \).
quindi come valori numerici dovrei ottenere 0 e $2\pi$? Per quanto riguarda la funzione integranda, è corretto il cambiamento di variabili? in questo modo posso applicare il teorema dei residui alle singolarità che trovo ponendo il denominatore =0?
ancora non mi è chiaro come sostituire il valore negli estremi...
ancora non mi è chiaro come sostituire il valore negli estremi...
quindi come valori numerici dovrei ottenere 0 e 2π?
no,
\(\displaystyle {z}={{e}}^{{{i}{x}}} \) e \(\displaystyle x=\frac{\pi}{{2}} \Rightarrow {z}={{e}}^{{{i}{\frac{\pi}{{2}}}}}=i \)
\(\displaystyle {z}={{e}}^{{{i}{x}}} \) e \(\displaystyle x=\frac{-\pi}{{2}} \Rightarrow {z}={{e}}^{{{i}{\frac{-\pi}{{2}}}}}=-i \)
Per quanto riguarda la funzione integranda, è corretto il cambiamento di variabili?
si
in questo modo posso applicare il teorema dei residui alle singolarità che trovo ponendo il denominatore =0?
si
Grazie wnvl. Potrei chiederti un'altra cosa? Io ho trovato una domanda che chiede per quale motivo uno dei seguenti due integrali non può essere calcolato.
Il primo è $int_{-oo}^{+oo} \frac{cos(\pix)}{(x^2-1)(x-1)}$
Il secondo è $int_{-infinity}^{+ infinity} \frac{cos(\pix)}{(x^2+1)(x-1)}$
Ancora non mi è chiara ( se non tutta) gran parte della teoria che si deve applicare nei singoli casi. Come, cosa grave, non so come dimostrare quando si hanno singolarità eliminabili, essenziali e poli... Ho dato un'occhiata su internet... ma "il tonto" di ieri mi si addice ancora oggi! ti ringrazio
edit: gli estremi di integrazione sono - e + infinito.
Il primo è $int_{-oo}^{+oo} \frac{cos(\pix)}{(x^2-1)(x-1)}$
Il secondo è $int_{-infinity}^{+ infinity} \frac{cos(\pix)}{(x^2+1)(x-1)}$
Ancora non mi è chiara ( se non tutta) gran parte della teoria che si deve applicare nei singoli casi. Come, cosa grave, non so come dimostrare quando si hanno singolarità eliminabili, essenziali e poli... Ho dato un'occhiata su internet... ma "il tonto" di ieri mi si addice ancora oggi! ti ringrazio
edit: gli estremi di integrazione sono - e + infinito.
Quali sono gli estrimi del secondo integrale?
Hai scritto - e + infinito????
Hai scritto - e + infinito????
gli estremi di entrambi gli integrali sono estremo inferiore: -infinito. Estremo superiore + infinito.
OK, pensavo e=2,71...
No. Gli estremi sono -infinito e + infinito. Il problema è che non capisco perchè uno dei due non è possibile da calcolare.
Ho provato con W/A.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... nity%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... nity%7D%5D
Per W/A entrambi gli integrali sono divergenti.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... nity%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... nity%7D%5D
Per W/A entrambi gli integrali sono divergenti.
Non posso dare immediatamente la risposta. Magari qualcun altro?
il secondo integrale a me risulta $\-pi/2e^(-\pi)$.
Una cosa, wnvl: per le singolarità rimovibili, essenziali e poli, come devo fare per determinarli/distinguerli? Trovo l'insieme di definizione della funzione e i punti di singolarità... ma poi come faccio a classificarli? per me sarebbero tutti poli!
Una cosa, wnvl: per le singolarità rimovibili, essenziali e poli, come devo fare per determinarli/distinguerli? Trovo l'insieme di definizione della funzione e i punti di singolarità... ma poi come faccio a classificarli? per me sarebbero tutti poli!
I will answer in english, is a little bit quicker.
For the removable singularities, you just calculate the limit if it exists and is different from infinity, you have a removable singularity.
In case of essential singularities the limit does not exist, f.i. sin(1/z). It keeps on oscillating when going to 0.
For the removable singularities, you just calculate the limit if it exists and is different from infinity, you have a removable singularity.
In case of essential singularities the limit does not exist, f.i. sin(1/z). It keeps on oscillating when going to 0.
e per le singolarità essenziali? so che si dovrebbe fare lo sviluppo in serie. Ma è l'unico metodo o ce ne sono altri?
ah, ok! grazie. Ho visto dopo l'aggiunta.
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