Calcolo integrale con i fratti semplici

[fausto94]

Ciao a tutti e buone feste!!

Qualcuno sarebbe in grado di aiutarmi con la risoluzione di questo integrale?

\( \int_{}^{} \frac {1} {(x+1)(1+x^2)^2}\, dx \)

Io ho provato con i fratti semplici, ponendo \( \frac{1}{(x+1)(1+x^2)^2} = \frac{A} {x+1} + \frac{Bx+C}{1+x^2} + \frac{Dx+E}{(1+x^2)^2} \) , facendo il denominatore comune e trovando i valori seguenti:

\( A=\frac{1}{4}; B=-\frac{1}{4}; C=\frac{1}{4}; D=-\frac{1}{2}; E=\frac{1}{2} \)

Da qui la scomposizione:

\( \frac{1}{4}\int\frac{1}{x+1}dx + \frac{1}{4}\int\frac{1-x}{1+x^2}dx + \frac{1}{2}\int\frac{1-x}{(1+x^2)^2}dx \)

Il primo pezzo è immediato e ho il logaritmo, il secondo spezzando la frazione son riuscito a ricondurlo ad una differenza tra un arcotangente e un logaritmo, mentre il terzo (quello con il quadrato di binomio al denominatore), anche spezzando la frazione non riesco proprio a ricondurlo a niente di noto.

Se qualcuno mi sa aiutare lo ringrazio.

[lgks98]

allora.
$\int (1-x)/((1+x^2)^2)dx$ puoi spezzarlo in $\int (1)/((1+x^2)^2 )dx -\int (x)/((x^2+1)^2)dx$
da cui
$\int 1/((1+x^2)^2)dx$ lo risolvi sfruttando tale relazione : $ tg^2x+1=sec^2x $ ,quindi ponendo $ x=tg (t) $ e facendo i calcoli opportuni. { $\int cos^2(t)dt $ che porta a $ 1/2 arctg(x) + 1/4 sen(2arctg(x)) $
,ovviamente ricordando che $ sec(alpha)=1/cos(alpha) $.


il secondo basta imporre invece $ x^2+1=t $ e anche qui la risoluzione è semplice
ciao.

[fausto94]

Hai ragione, il secondo ero riuscito a farlo da solo, ma il primo era già un pò più difficile da vedere.

Spero comunque che non mi capiti un esercizio così all'esame.

Grazie mille!

[lgks98]

"fausto94":Hai ragione, il secondo ero riuscito a farlo da solo, ma il primo era già un pò più difficile da vedere.

Spero comunque che non mi capiti un esercizio così all'esame.

Grazie mille!

quando vedi forme del tipo $ a +x^2 $ ,puoi ricondurti sempre a questa forma!
non è difficile,è solo questione di abitudine e calcoli