Calcolo integrale con esponenziale e coseno
salve avrei bisogno del vostro aiuto con il seguente integrale.
Stabilire se il seguente integrale sia convergente o meno:
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x}-cosx}$
se mi potete aiuatare ad iniziare a svorgere l'integrale
grazie.
Stabilire se il seguente integrale sia convergente o meno:
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x}-cosx}$
se mi potete aiuatare ad iniziare a svorgere l'integrale
grazie.
Risposte
$1/(e^x-cos(x))$\(\displaystyle \sim \)$1/((1+x)+(1/2x^2-1))$
Per $x->0^+$
Per $x->0^+$
mi potresti spiegare il passaggio che hai fatto.
e come risolvo l'integrale dato.
fammi sapere.
grazie.
e come risolvo l'integrale dato.
fammi sapere.
grazie.
Considera
$int_(0)^(1)(dx)/(e^x-cos(x))$
L'integranda è continua e dunque integrabile su tutto $(0,1]$
Di fatto $int_(a)^(1)(dx)/(e^x-cos(x)), ain(0,1]$
esiste ed è finito poiché l'integranda descrive una parte di piano finita.
Dunque ci interessa sapere cosa accade se $a->0^(-)$
Dunque equivale a calcolare:
$lim_(a->0^(-))int_(a)^(1)(dx)/(e^x-cos(x))$
Stiamo considerando un limite, quindi nulla ci vieta di trattare equivalenze asintotiche. Naturalmente cambiando funzione, cambia il risultato dell'integrale, ma a noi interessa la convergenza.
Due funzioni sono asintoticamente uguali per $x->0^-$ se il loro rapporto è $1$ ovvero se si comportano allo stesso modo in un intorno piccolo a piacere di $0$.
Questo 'comportarsi allo stesso modo' ci dice che se due una funzione converge, ed esiste una funzione a essa equivalente, allora converge anch'essa.
Un po come dire che: se ho due pistole diverse ma che all'impatto provocano lo stesso danno, sparare con una o con l'altra non farà differenza ai fini di conoscere i danni all'impatto.
In particolare $e^x~x+1$ e $-cos(x)~1/2x^2-1$
entrambi per $x->0^+$
Dunque per vedere se il tuo integrale converge, basta vedere se converge(ovvero che esiste finito):
$lim_(a->0^+)int_(a)^(1)(dx)/((1+x)+(1/2x^2-1))$
$lim_(a->0^+)int_(a)^(1)2/(2x+x^2)dx=lim_(a->0^+)int_(a)^(1)2/(x(2+x))dx$
E si conclude.
Naturalmente poco ti frega cosa succede in $1$
$int_(0)^(1)(dx)/(e^x-cos(x))$
L'integranda è continua e dunque integrabile su tutto $(0,1]$
Di fatto $int_(a)^(1)(dx)/(e^x-cos(x)), ain(0,1]$
esiste ed è finito poiché l'integranda descrive una parte di piano finita.
Dunque ci interessa sapere cosa accade se $a->0^(-)$
Dunque equivale a calcolare:
$lim_(a->0^(-))int_(a)^(1)(dx)/(e^x-cos(x))$
Stiamo considerando un limite, quindi nulla ci vieta di trattare equivalenze asintotiche. Naturalmente cambiando funzione, cambia il risultato dell'integrale, ma a noi interessa la convergenza.
Due funzioni sono asintoticamente uguali per $x->0^-$ se il loro rapporto è $1$ ovvero se si comportano allo stesso modo in un intorno piccolo a piacere di $0$.
Questo 'comportarsi allo stesso modo' ci dice che se due una funzione converge, ed esiste una funzione a essa equivalente, allora converge anch'essa.
Un po come dire che: se ho due pistole diverse ma che all'impatto provocano lo stesso danno, sparare con una o con l'altra non farà differenza ai fini di conoscere i danni all'impatto.
In particolare $e^x~x+1$ e $-cos(x)~1/2x^2-1$
entrambi per $x->0^+$
Dunque per vedere se il tuo integrale converge, basta vedere se converge(ovvero che esiste finito):
$lim_(a->0^+)int_(a)^(1)(dx)/((1+x)+(1/2x^2-1))$
$lim_(a->0^+)int_(a)^(1)2/(2x+x^2)dx=lim_(a->0^+)int_(a)^(1)2/(x(2+x))dx$
E si conclude.
Naturalmente poco ti frega cosa succede in $1$
va bene..
mi dici cosa succede..
per favore.
grazie
mi dici cosa succede..
per favore.
grazie
Non sai integrare $int2/(x(2+x))dx$?
allora abbiamo che:
$int2/(x(2+x))dx=log(x)-log(x+2)$
quindi cosa possiamo dire dell'integrale dato..
non sto riuscendo ad arrivare ad una conclusione..
se mi puoi ricapitolare il tutto.
grazie.
$int2/(x(2+x))dx=log(x)-log(x+2)$
quindi cosa possiamo dire dell'integrale dato..
non sto riuscendo ad arrivare ad una conclusione..
se mi puoi ricapitolare il tutto.
grazie.
"rsist":
allora abbiamo che:
$int2/(x(2+x))dx=log(x)-log(x+2)$
quindi cosa possiamo dire dell'integrale dato..
non sto riuscendo ad arrivare ad una conclusione..
se mi puoi ricapitolare il tutto.
grazie.
E ora niente, è finito.
$lim_(a->0^+)[log|x/(2+x)|]_(a)^(1)$
diverge poiché $log|a/(a+2)|->-infty$ per $a->0^+$
Quindi diverge quello di partenza.
ok grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo