Calcolo integrale con errore
devo calcolare questo integrale con un errore inferiore a $10^-2$
$int_(0)^(pi/2) (1-cosx)/x dx$
cos x=$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$
e quindi posso scrivere$ (1-cosx)/x=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^(2n-1)/((2n)!)$
$int_(0)^(pi/2) sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^(2n-1)/((2n)!) dx=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) 1/((2n)!) int_(0)^(pi/2) x^(2n-1) dx$
volevo sapere se è giusto per proseguire il calcolo
$int_(0)^(pi/2) (1-cosx)/x dx$
cos x=$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$
e quindi posso scrivere$ (1-cosx)/x=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^(2n-1)/((2n)!)$
$int_(0)^(pi/2) sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^(2n-1)/((2n)!) dx=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) 1/((2n)!) int_(0)^(pi/2) x^(2n-1) dx$
volevo sapere se è giusto per proseguire il calcolo
Risposte
Certo.
dal calcolo dell'integrale ottengo $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^(n+1) 1/((2n)!) 1/(2n) (pi/2)^(2n)$
e poi procedo nel trovare N tale che $a_N<0,01$
questo è verificato per N=3 e quindi l'integrale dato lo approssimo sommando i primi 3 termini della serie( circa 0,55691)?
e poi procedo nel trovare N tale che $a_N<0,01$
questo è verificato per N=3 e quindi l'integrale dato lo approssimo sommando i primi 3 termini della serie( circa 0,55691)?
puoi dirmi se è giusto anche questo?
$int_(0)^(1) (arctanx-sinx)/(2x) dx$
arrivo alla fine ad avere come serie: $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (((2n)!)-1)/((2n+1)!) 1/(2n+1) (1/2)^(2n+1)$
e l'approssimazione per N=1
$int_(0)^(1) (arctanx-sinx)/(2x) dx$
arrivo alla fine ad avere come serie: $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (((2n)!)-1)/((2n+1)!) 1/(2n+1) (1/2)^(2n+1)$
e l'approssimazione per N=1
Sicuro sia corretta l'ultima espansione in serie?
Quella potenza di \(2\) non mi convince molto...
P.S.: Ma come mai stai facendo millemila esercizi sulle serie? Da un mese non stai postando che quelli... Alla fine diventa monotono anche darti una mano.
Quella potenza di \(2\) non mi convince molto...
P.S.: Ma come mai stai facendo millemila esercizi sulle serie? Da un mese non stai postando che quelli... Alla fine diventa monotono anche darti una mano.
è per l'esame di analisi 2.comunque se è un problema non posto più anche se penso che i miei post possano servire ad altri utenti
per potenza di 2 intendi $(1/2)^(2n+1)$?
per potenza di 2 intendi $(1/2)^(2n+1)$?
"gbspeedy":
è per l'esame di analisi 2.comunque se è un problema non posto più anche se penso che i miei post possano servire ad altri utenti.
Nono, nessun problema.
Solo che hai una sfilza di thread tutti uguali che porti avanti praticamente da solo, e mi "preoccupavo" per questo.
"gbspeedy":
per potenza di 2 intendi $(1/2)^(2n+1)$?
Sì... "A occhio" non mi pare di vedere come possa uscire fuori.
comunque se potresti dare un "occhio" anche agli altri thread mi sarebbe davvero utile.
"gbspeedy":
puoi dirmi se è giusto anche questo?
$int_(0)^(1) (arctanx-sinx)/(2x) dx$
arrivo alla fine ad avere come serie: $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (((2n)!)-1)/((2n+1)!) 1/(2n+1) (1/2)^(2n+1)$
e l'approssimazione per N=1
ho sbagliato a scrivere: l'integrale è tra 0 e $1/2$
se invece ho $int_(0)^(+oo) e^(-x^2) dx $ so che $e^(-x^2)=sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (x^(2n))/(n!)$
ma operando come prima non arrivo a nulla
ma operando come prima non arrivo a nulla
L'integrale è convergente, quindi lo puoi approssimare con \(\int_0^R\), dove \(R>0\) è "grande".
Prendi \(R=2\) ed usa le stime di Leibniz.
Prendi \(R=2\) ed usa le stime di Leibniz.
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