Calcolo integrale
ho il seguente integrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+ix}dx \), per risolverlo ho pensato di procedere così, considero \(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z^2+iz} = \frac{1}{z(z+i)} \), presenta due punti singolari semplici in \(\displaystyle z_1 =0 \), \(\displaystyle z_2 = -i \), ora so che \(\displaystyle \int _{\gamma}f(z)dz =\int_{-R}^Rf(x)dx\int_{\gamma_R}f(z)dz =2\pi i\sum_{k=1}^r res(f(z),z_k) \), ho pensato di procedere applicando il lemma del grande cerchio che praticamente ci dice che se \(\displaystyle lim_{z\to\infty} zf(z)= 0 \) allora \(\displaystyle lim_{R\to\infty} \int_{\gamma_R}f(z)dz = 0 \), dunque avrò che \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{z^2+iz}dz = 2\pi i( res(f(z),0) + res(f(z),-i)) \) ho che \(\displaystyle res(f(z),0) = lim_{z\to 0} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{i} \) e \(\displaystyle res(f(z),-i) = lim_{z\to -i} \frac{1}{z} = \frac{1}{-i} \), dunque l'integrale dovrebbe essere uguale a \(\displaystyle 2\pi i(\frac{1}{i}-\frac{1}{i}) = 0 \), quello che non capisco è perchè invece il risultato dell'esercizio dovrebbe essere uguale a \(\displaystyle \pi\), dove commetto errore?
Risposte
Ritengo che l'errore sia dovuto al fatto che la singolarità \( z=0\) è sul cammino di integrazione. Cambia il cammino di integrazione circondando la singolarità \( z=0 \) con una semicirconferenza \( \gamma_{\epsilon}\)di raggio \( \epsilon\) in questo caso abbiamo:
\( \intop_{R}^{\epsilon}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\intop_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz+\int_{-\epsilon}^{-R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\intop_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz=2\pi iRes(f(z),-i)\)
\( \lim\intop_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\int_{0}^{-\pi}\frac{i\epsilon e^{i\vartheta}}{\epsilon^{2}e^{2i\vartheta}+\epsilon e^{i\vartheta}}d\vartheta=-\pi\)
e quindi
\(\int_{\infty}^{-\infty}\frac{1}{x^{2}+ix}dx-\pi=-2\pi \)
\( \intop_{R}^{\epsilon}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\intop_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz+\int_{-\epsilon}^{-R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\intop_{\gamma_{R}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz=2\pi iRes(f(z),-i)\)
\( \lim\intop_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\int_{0}^{-\pi}\frac{i\epsilon e^{i\vartheta}}{\epsilon^{2}e^{2i\vartheta}+\epsilon e^{i\vartheta}}d\vartheta=-\pi\)
e quindi
\(\int_{\infty}^{-\infty}\frac{1}{x^{2}+ix}dx-\pi=-2\pi \)
il risultato che ti viene è comunque differente da quello del mio libro che dice che tale integrale deve essere uguale a \(\displaystyle \pi \)
Infatti viene \( \pi\) lavora sull'ultima uguaglianza!!
@Claudio
Moltiplica per -1 ambo i membri e scambi gli "estremi":
ha ragione Toti(come spesso gli capita..)!
@Toti(anticipatore talentuoso che me ne ricorda un altro più famigerato)
E' ancora quel fine Matematico bulgaro a far scuola su queste robe,durante il corso di Geometria Algebrica,
in quel di Paleimmo?
Saluti dal web.
"claudio_p88":
il risultato che ti viene è comunque differente da quello del mio libro che dice che tale integrale deve essere uguale a \(\displaystyle \pi \)
Moltiplica per -1 ambo i membri e scambi gli "estremi":
ha ragione Toti(come spesso gli capita..)!
@Toti(anticipatore talentuoso che me ne ricorda un altro più famigerato)
E' ancora quel fine Matematico bulgaro a far scuola su queste robe,durante il corso di Geometria Algebrica,
in quel di Paleimmo?
Saluti dal web.
non riesco a capire il passaggio \(\displaystyle \lim\intop_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\int_{0}^{-\pi}\frac{i\epsilon e^{i\vartheta}}{\epsilon^{2}e^{2i\vartheta}+\epsilon e^{i\vartheta}}d\vartheta=-\pi \), perchè integri nell'intervallo \(\displaystyle [0, -\pi] \)?
Il cammino di integrazione deve lasciare a sinistra dominio.
Puoi anche prendere la semicirconferenza grande e la semicirconferenza infinitesima entrambe sul semipiano superiore, in questo caso ottieni:
\(\int_{-R}^{R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz+\int_{\epsilon}^{R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx=0 \)
\( \int_{-R}^{-\epsilon}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\int_{\pi}^{0}\frac{i\epsilon e^{i\vartheta}}{(\epsilon e^{i\vartheta})^{2}+i\epsilon e^{i\vartheta}}d\vartheta+\int_{\epsilon}^{R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx=0\)
Facendo il limite ottieni il risultato.
Puoi anche prendere la semicirconferenza grande e la semicirconferenza infinitesima entrambe sul semipiano superiore, in questo caso ottieni:
\(\int_{-R}^{R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{1}{z^{2}+iz}dz+\int_{\epsilon}^{R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx=0 \)
\( \int_{-R}^{-\epsilon}\frac{1}{x^{2}+ix}dx+\int_{\pi}^{0}\frac{i\epsilon e^{i\vartheta}}{(\epsilon e^{i\vartheta})^{2}+i\epsilon e^{i\vartheta}}d\vartheta+\int_{\epsilon}^{R}\frac{1}{x^{2}+ix}dx=0\)
Facendo il limite ottieni il risultato.
scusa, ma non riesco a capire, diciamo che puoi scegliere di prendere due semicirconferenze di raggio 0 e raggio +infinito che si intersecano rispettivamente con \(\displaystyle [-R,-\epsilon] \) e \(\displaystyle [\epsilon,R] \) la condizione importante è che il punto 0 sia escluso da tale circuito? inoltre perchè il punto -i non cade nell'intervallo?E perchè scegli cone intervallo di integrazione [0, pi] e non [0,2pi]? se hai qualche link o file pdf dove dare un occhiata a questi argomenti te ne sarei grato, ho veramente confusione...
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