Calcolo integrale ..

[menale1]

Cari ragazzi vorrei proporvi questo quesito . Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti reali e siano $ a , b in RR $ : $ a

[frapippo1]

$p(x)^2>=0$, allora:

i) se p(x)=0, $int_a^\b0dx=0$;
ii)se $p^2(x)>0$ $exists$ $k>0$, tale che $p^2(x)>=k$ in $(a,b)$, Per la monotonia degli integrali, $0

Cita

Segnala

[Mrhaha]

"frapippo":
Per la monotonia degli integrali, $0
@frapippo utilizzi il teorema della media integrale?

[frapippo1]

Si, anche se questo è un caso semplice, perchè k è una costante.
Comunque il ragionamento fatto vale per qualsiasi funzione f(x), purché integrabile in (a,b). Condizione di integrabilità su un dato intervallo è che la funzione sia continua, condizione chiaramente soddisfatta da un polinomio.

[Flaviuz1]

Una dimostrazione alternativa la puoi ottenere direttamente dalla definizione di integrale definito, senza ricorrere a teoremi.

Dopo aver definito i limiti $S_n$$=$$\lim_(n->+infty)sum_{i=1}^(n) M_n$ $*$ $(b-a)/(n)$; $s_n$$=$$\lim_(n->+infty)sum_{i=1}^(n) m_n$ $*$ $(b-a)/(n)$ (dove $M_n$ e $m_n$ sono rispettivamente massimi e minimi degli n-esimi intervalli), e dimostrato che sono tra loro uguali e uguali a $\lim_(n->+infty)sum_{i=1}^(n) f(x)$ $*$ $\Delta$$x_i$, si definisce l'integrale definito nel modo seguente:

$\int_{a}^{b} f(x) dx$ $=$ $\lim_(n->+infty)sum_{i=1}^(n) f(x)$ $*$ $\Delta$$x_i$.

Dunque, poichè $\Delta$$x$$>$$0$, resta da fare un'ultima considerazione: la somma di $n$ elementi, i valori $p^2(x_i)$, positivi o nulli, è sempre positiva o nulla per le proprietà basilari dell'addizione.

E' dunque verificato che: $\int_{a}^{b} p^2(x) dx$ $>=$ $0$.

[menale1]

Grazie a tutti per la collaborazione .

[Mrhaha]

"frapippo":Si, anche se questo è un caso semplice, perchè k è una costante.
Comunque il ragionamento fatto vale per qualsiasi funzione f(x), purché integrabile in (a,b). Condizione di integrabilità su un dato intervallo è che la funzione sia continua, condizione chiaramente soddisfatta da un polinomio.

Grazie!

[menale1]

Cari ragazzi , la professoressa c'a detto che per la risoluzione del problema in questione , bisognava far riferimento ad una primitiva della funzione $ [p(x)]^2 $ e verificare che fosse una funzione costante , la cui derivata non poteva che essere 0 ; tutto ciò nel momento in cui si voleva verificare quando fosse uguale a zero .