Calcolo integrale

[oiraD93]

Salve. Come calcolo l' integrale di y=

[math]\frac{1}{sen^2x+1}[/math]

?
Si può fare usando le formule parametriche?
Grazie mille in anticipo..

Infinite grazie , Ciampax . Chiarissimo come sempre!

[ciampax]

Sto scrivendo la risposta ma mi ci vuole un po', per favore non intervenite, grazie.

Aggiunto 1 ora 9 minuti più tardi:

Certo le formule parametriche possono essere utili. Ricordando che, posto

[math]t=\tan\frac{x}{2}[/math]

si ha

[math]\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/math]

e che

[math]dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt[/math]

possiamo scrivere

[math]\int\frac{1}{1+\sin^2 x}\ dx=\int\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2+4t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\int\frac{2(1+t^2)}{t^4+6t^2+1}\ dt[/math]

A questo punto, la cosa più ovvia da fare è decomporre il denominatore osservando che, essendo le radici del polinomio

[math]t^2=-3\pm 2\sqrt{2}[/math]

[math]t^4+6t^2+1=(t^2-(-3-2\sqrt{2}))(t^2-(-3+2\sqrt{2}))=\\ (t^2+3+2\sqrt{2})(t^2+3-2\sqrt{2})[/math]

Osserva che entrambi i fattori non sono ulteriormente decomponibili poiché somme di termini positivi e questo risulta un po' una seccatura al fine di risolvere l'integrale. In ogni caso, procedendo, quello che dobbiamo fare è effettuare una decomposizione in fratti semplici del tipo seguente

[math]\frac{2(1+t^2)}{t^4+6t^2+1}=\frac{At+B}{t^2+3+2\sqrt{2}}+\frac{Ct+D}{t^2+3-2\sqrt{2}}[/math]

Calcolando il denominatore ad ambo i membri e uguagliando i denominatori abbiamo

[math]2(t^2+1)=(At+B)(t^2+3-2\sqrt{2})+(Ct+D)(t^2+3+2\sqrt{2})[/math]

Per determinare i coefficienti, un buon metodo in questo caso è quello di sostituire valori opportuni di t e vedere cosa viene fuori. Abbiamo

[math]t=0\ \Rightarrow\ 2=B(3-2\sqrt{2})+D(3+2\sqrt{2})[/math]

[math]t=1\ \Rightarrow\ 4=(A+B)(4-2\sqrt{2})+(C+D)(4+2\sqrt{2})[/math]

[math]t=-1\ \Rightarrow\ 4=(-A+B)(4-2\sqrt{2})+(-C+D)(4+2\sqrt{2})[/math]

Osserva ora che, sommando e sottraendo membro a membro la seconda e la terza equazione, abbiamo

[math]8=2B(4-2\sqrt{2})+2D(4+2\sqrt{2})\\
0=2A(4-2\sqrt{2})+2C(4+2\sqrt{2})[/math]

La prima di queste e la prima del gruppo precedente, risolte insieme, permettono di determinare i valori di B e D

[math]B=1+\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad D=1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]

Se ora usiamo questi valori di B e D e scriviamo

[math]t=2\ \Rightarrow\ 10=\left(2A+1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(7+\sqrt{2})+\left(2C+1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(7-\sqrt{2})[/math]

da cui

[math]2=A(7-2\sqrt{2})+C(7+2\sqrt{2})[/math]

che accoppiata con l'altra equazione in A e C trovata prima fornisce i valori

[math]A=0,\ C=0[/math]

Ne segue che il nostro integrale si riduce al seguente

[math]\int\left[\frac{1+\sqrt{2}/2}{t^2+3+2\sqrt{2}}+\frac{1-\sqrt{2}/2}{t^2+3-2\sqrt{2}}\right]\ dt[/math]

Osserva ora che, a prescindere dalle costanti, gli integrali da calcolare sono i seguenti

[math]\int\frac{1}{t^2+\alpha^2}\ dt[/math]

dove

[math]\alpha^2[/math]

rappresenta la costante positiva nei denominatori. Posto

[math]t=\alpha z[/math]

si ha, essendo

[math]dt=\alpha\ dz[/math]

[math]\int\frac{1}{\alpha^2 z^2+\alpha^2}\cdot \alpha\ dz=\frac{1}{\alpha}\int\frac{dz}{1+z^2}=\frac{1}{\alpha}\arctan z+c[/math]

e quindi

[math]\int\frac{1}{t^2+\alpha^2}\ dt=\frac{1}{\alpha}\arctan\left(\frac{t}{\alpha}\right)+c[/math]

Ritornando allora all'integrale di partenza otteniamo

[math]\int\left[\frac{1+\sqrt{2}/2}{t^2+3+2\sqrt{2}}+\frac{1-\sqrt{2}/2}{t^2+3-2\sqrt{2}}\right]\ dt=\\
\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\right)+\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}\right)+c[/math]

e ancora

[math]\int\frac{1}{\sin^2 x+1}\ dx=\\
\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\arctan\left(\frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\right)+\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-\sqrt{2}}}\arctan\left(\frac{\tan\frac{x}{2}}{2\sqrt{3-\sqrt{2}}}\right)+c[/math]

Sebbene questo sia il risultato corretto (lo puoi verificare facendo le derivate), è possibile semplificarlo ulteriormente notando che

[math]\sqrt{3\pm 2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pm 1[/math]

e usando la regola seguente

[math]arctan a\pm\arctan b=\arctan\left(\frac{a\pm b}{1\mp ab}\right)[/math]

Tuttavia ci sono altri modi per calcolare tale integrale che ti illustro nei prossimi interventi.

Aggiunto 21 minuti più tardi:

La cosa più intelligente da fare quando si presentano quadrati o potenze delle funzioni trigonometriche è quella di "ridurre la potenza". Le formule utili sono le seguenti

[math]\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2},\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/math]

da cui ricaviamo

[math]I=\int\frac{2}{3-\cos(2x)}\ dx[/math]

Ora effettuiamo la seguente sostituzione parametrica

[math]t=\tan x,\quad \cos(2x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{dt}{1+t^2}[/math]

così da ottenere

[math]I=\int\frac{2(1+t^2)}{3t^2+3-1+t^2}\cdot\frac{dt}{1+t^2}=\int\frac{dt}{2t^2+1}[/math]

Posto ancora

[math]t=z/\sqrt{2}[/math]

si ha

[math]dt=dz/\sqrt{2}[/math]

e quindi

[math]I=\frac{1}{z^2+1}\cdot\frac{dz}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan z+c=\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2} t\right)+c[/math]

e infine

[math]I=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\sqrt{2}\cdot\tan x\right)+c[/math]

che è una forma più "umana" del risultato precedente.