Calcolo Integrale

[Bergamelli]

Qualcuno mi dice il risultato di questo integrale definito... ho trovato una soluzione che non è quella che dovrebbe essere:

$\int_{0}^{x} u\cdot \text{e}^{-a\cdot u}\ \text{d}u$

grazie a chi risponderà

[carpirob]

Dovrebbe venire zero, invece qual'è il risultato ?? Perchè non posti i tuoi metodi di sviluppo?

[deserto1]

"carpirob":Dovrebbe venire zero

Perchè $0$?
Il risultato dipende dal parametro $a$ e già per $a=0$ non si ha $0$.

[carpirob]

ss

"deserto":[quote="carpirob"]Dovrebbe venire zero

Perchè $0$?
Il risultato dipende dal parametro $a$ e già per $a=0$ non si ha $0$.[/quote]

Se $a$ te lo porti dietro come costante al momento della sostituzione degli estremi trovi che si annullano...almeno così la vedo. Altrimenti dovresti scrivere qualsiasi caso ???

[Bergamelli]

ho integrato per parti:

$\frac{-e^{-ax}}{a} x+\frac{1}{a^2}\frac{1-e^{-ax}}{a^2}$

.... ho già il risultato ma è leggermente diverso....

[Bergamelli]

scusate togliete $\frac{1}{a^2}$ dal secondo addendo...

[pater46]

"Bergamelli":Qualcuno mi dice il risultato di questo integrale definito... ho trovato una soluzione che non è quella che dovrebbe essere:

$\int_{0}^{x} u\cdot e^{-au} du$

grazie a chi risponderà

Prima procedi per parti.

$ D( u ) = 1 $
$int e^{-au} = -e^{-au}/a$

$-ue^{-au}/a|_0^x + 1/a int_0^x e^{-au} = [ -ue^{-au}/a - 1/a e^{-au}/a ]_0^x = [ e^{-au} \cdot \frac{ -au -1 }{a^2} ]_0^x$

Sostituiamo..

$ \frac{ e^{-ax} ( -ax -1 ) + 1 } { a^2 } $

[Bergamelli]

bhè quindi con la correzione che ho scritto dopo in sostanza è giusto:

$-\frac{e^{-ax}}{a}\cdot x +\frac{1-e^{-ax}}{a^2}$ se sommato dà il tuo risultato...





e se invece dovessi integrare:

$\int_0^x a\cdot e^{-au}\du$ non procedo per parti poichè $a$ è una costante e quindi:

$=a\cdot\int_0^x e^{-au}\du=a\cdot[-\frac{e^{-au}}{a}]_0^x=1-e^{ax}$

corretto?


già che ci sono chiedo anche:

ho la soluzione di un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea con radici coincidenti nella forma:

$f(x)=b_0+b_1e^{-ax}+b_2a\cdotx\cdote^{-ax}$


qualcuno riesce a risalire all'equazione generale che risolta dà sto risultato??

secondo me la soluzione dovrebbe essere

$\f(x)=b_0+\b1e^{-ax}+b_2\cdotxe^{-ax}$

[dissonance]

Non ci sono problemi a controllare il risultato. Basta valutarlo in $0$, controllando che si annulli, e calcolarne la derivata, verificando che essa coincida con $xe^{-ax}$. Se il risultato passa questo test allora è corretto, altrimenti no.