Calcolo integrale

[lucaldinho]

Ciao ragazzi, mi direste come procedere per svolgere questo integrale :

$\int_{0}^{x} (e^t(t^2+t+y^2))/(sqrt(t^2+y^2)) dt$

Il risultato dovrebbe essere : $ e^xsqrt(x^2+y^2)-y $

[anto_zoolander]

$int_(0)^(x)(e^t(t^2+t+y^2))/(sqrt(t^2+y^2))dt$

intanto nota che la funzione integranda è continua $foralltinRR$ inoltre il parametri $y$ può assumere qualsiasi valore reale senza comportare alcun problema di definizione alla funzione.
Dunque essendo $f(t)$ continua su tutto $RR$, allora la funzione è integrabile per qualunque valore $x$.

Ora vediamo come attaccare l'integrale.

$int_(0)^(x)(e^t(t^2+y^2))/sqrt(t^2+y^2)dt+int_(0)^(x)(te^t)/sqrt(t^2+y^2)dt$

il resto lo metto sotto spoiler, come strumento in caso di utilità.

procedo così per la soluzione

$int_(0)^(x)(e^tsqrt(t^2+y^2))dt+1/2int_(0)^(x)e^t*(2t)(t^2+y^2)dt$

integro per parti il secondo integrale

$int_(0)^(x)e^tsqrt(t^2+y^2)dt+1/2[2e^tsqrt(t^2+y^2)-2inte^tsqrt(t^2+y^2)dt]_(0)^(x)$

$int_(0)^(x)e^tsqrt(t^2+y^2)dt+[e^tsqrt(t^2+y^2)]_(0)^(x)-int_(0)^(x)e^tsqrt(t^2+y^2)dt$

i due integrali si annullano, dunque:

$int_(0)^(x)(e^t(t^2+t+y^2))/(sqrt(t^2+y^2))dt=[e^tsqrt(t^2+y^2)]_(0)^(x)$

$F(x)=e^xsqrt(x^2+y^2)-|y|$

Come previsto la funzione integrale è continua $forallx,yinRR$
Essendo $y$ un parametro reale, bisogna mettere il modulo.



edit: sarò sempre anticipato

[anto_zoolander]

"TeM":Vabbè, questo non è un problema, ricevere più risposte (possibilmente corrette) può essere un vantaggio. Piut-
tosto, hai colto quanto ho scritto? Se sì, in casi come questo si evitano un bel po' di conti (seppur corretti).

Sì, si presenta appunto come la derivata di un prodotto. Richiede allenamento
Secondo me i professori si divertono con queste cose

[lucaldinho]

Si, tutto chiaro, grazie mille.