Calcolo integrale

[brownbetty1]

Ciao a tutti.

Devo calcolare $ int_(0)^(2pi) sqrt(1+cos\theta)*d\theta $. Ho provato con la sostituzione $ theta = cos^-1(t-1)=phi(t) $, ma senza successo.

Voi come procedereste ?

Grazie mille.

[Palliit]

Io proverei con: $theta=2alpha$ (ammesso che l'integrale sia in $d theta$ e non in $dx$).

[brownbetty1]

Ciao,

si la variabile di integrazione è $theta$, adesso ho corretto.

Ti ringrazio.

[brownbetty1]

Scusa se ti disturbo ancora. Ma a te gli estremi di integrazione (risp. inferiore e superiore) del nuovo integrale vengono $0$ e $pi$ e poi $d\theta = 2d\alpha$ ? Ho davanti la formula di integrazione per sostituzione, l'ho applicata ma ottengo:
$ int_(0)^(2\pi) sqrt(1+cos\theta) d\theta =2*sqrt(2)int_(0)^(pi) cos\alpha d\alpha = 0 $.

[Palliit]

L'integranda era $sqrt(1-costheta)$.

[brownbetty1]

Dove ho la testa ... hai ragione, l'integrale che dovevo calcolare aveva il $+$ e ieri notte ho messo il $-$. Adesso correggo pure questo nel primo post. Quindi l'ultimo integrale che ho calcolato (quello con il $+$) è corretto ?

[Palliit]

No: $sqrt(cos^2 alpha)=|cos alpha|$, e nell'intervallo di integrazione, $[0, pi]$, il $cos alpha$ cambia segno.

Del resto, rifletti su questo: come può una funzione quasi ovunque positiva come $sqrt(1+cos theta)$ ad avere integrale nullo su un intervallo?

[brownbetty1]

Ecco perchè!

"Palliit":
Del resto, rifletti su questo: come può una funzione quasi ovunque positiva come $sqrt(1+cos theta)$ ad avere integrale nullo su un intervallo?

In effetti.
Quindi l'integrale vale $4sqrt(2)$

Grazie mille per la disponibilità!