Calcolo integrale

[Carlino1231]

Salve, avrei un problema col seguente integrale: non riesco proprio a capire da dove esca fuori, eppure ho visto che molti lo considerano come primitiva fondamentale....

$\int_() \frac{2x}{1+x^2} dx=ln|1+x^2|+c$

[Zero87]

$2x$ è la derivata - stranamente esatta, in genere c'è da correggerla moltiplicando e dividendo per costanti! - del denominatore. L'integrale è del tipo
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx$.

[ciampax]

Un metodo che preferisco, per evitare di ricordare formule o altro, è quello di sostituire le cose "ingombranti". Ponendo $x^2+1=y$ si ha $2x\ dx=dy$ da cui l'integrale
$$\int\frac{dy}{y}=\ln|y|+c=\ln|1+x^2|+c$$

[Carlino1231]

"ciampax":Un metodo che preferisco, per evitare di ricordare formule o altro, è quello di sostituire le cose "ingombranti". Ponendo $x^2+1=y$ si ha $2x\ dx=dy$ da cui l'integrale
$$\int\frac{dy}{y}=\ln|y|+c=\ln|1+x^2|+c$$

Giusto, non avevo pensato di integrare per sostituzione.......

[Carlino1231]

"Zero87":$2x$ è la derivata - stranamente esatta, in genere c'è da correggerla moltiplicando e dividendo per costanti! - del denominatore. L'integrale è del tipo
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx$.

Ehm....non riesco a trarre conclusioni, forse c'è un teorema che mi sfugge?

[Zero87]

"Carlino123":Ehm....non riesco a trarre conclusioni, forse c'è un teorema che mi sfugge?

No, nessun teorema... è che ha ragione ciampax

Se derivi $log(f(x))$ ottieni $(f'(x))/(f(x))$, anche se personalmente non lo so per "formula imparata", ma perché mi piace aguzzare la vista e vedere sempre in un integrale "sospetto" se il numeratore è la derivata del denominatore.

[Carlino1231]

"Zero87":[quote="Carlino123"]Ehm....non riesco a trarre conclusioni, forse c'è un teorema che mi sfugge?

No, nessun teorema... è che ha ragione ciampax

Se derivi $log(f(x))$ ottieni $(f'(x))/(f(x))$, anche se personalmente non lo so per "formula imparata", ma perché mi piace aguzzare la vista e vedere sempre in un integrale "sospetto" se il numeratore è la derivata del denominatore. [/quote]

Giusto!
Fino ad ora non ci avevo mai fatto caso, ma credo che mi sarà molto utile anche perchè moltiplicando e dividendo per costanti come dicevi prima potrò risolvere un set più ampio di integrali più velocemente