Calcolo insieme punti stazionari
Devo trovare l'insieme dei punti stazionari di $ f(x,y)= cos(xy) $
Calcolando il gradiente avrò $ grad = (-ysen(xy);-xsen(xy)) $
Ora pongo in gradiente =0 a sistema e mi risulta che il punto da analizzare è P(0,0)
Ora ma matrice hessiana è una matrice nulla! Quindi è un punto indeterminato??
Grazie
.... e poi, come si calcola il rotore del gradiente della funzione?
Calcolando il gradiente avrò $ grad = (-ysen(xy);-xsen(xy)) $
Ora pongo in gradiente =0 a sistema e mi risulta che il punto da analizzare è P(0,0)
Ora ma matrice hessiana è una matrice nulla! Quindi è un punto indeterminato??
Grazie
.... e poi, come si calcola il rotore del gradiente della funzione?
Risposte
Devi studiare il segno di $f(0,0)-f(x,y)$ vicino a $(0,0)$, conviene farsi un disegnino. Devi applicare la definizione di punto di estremo relativo, insomma.
"Giugiu93":
Devo trovare l'insieme dei punti stazionari di $ f(x,y)= cos(xy) $
Calcolando il gradiente avrò $ grad = (-ysen(xy);-xsen(xy)) $
Ora pongo in gradiente =0 a sistema e mi risulta che il punto da analizzare è P(0,0)
Non sono d'accordo: a me sembra che il gradiente si annulli anche lungo gli assi coordinati e ogniqualvolta $xy=pi$ o multipli interi di $pi$. Insomma io vedrei come insieme dei punti stazionari gli assi coordinati e infinite iperboli.
Io penso che il problema sia quello di risolvere questo sistema, forse ho sbagliato a trovare il punto?
$ { ( -ysen(xy)=0 ),( -xsen(xy)=0 ):} $
$ { ( -ysen(xy)=0 ),( -xsen(xy)=0 ):} $
"Giugiu93":
Io penso che il problema sia quello di risolvere questo sistema, forse ho sbagliato a trovare il punto?
$ { ( -ysen(xy)=0 ),( -xsen(xy)=0 ):} $
Sì, ha ragione Gio. Resta comunque valido ciò che ho scritto su: hai poche speranze di cavartela studiando l'hessiana (o quantomeno in questo modo non riuscirai a classificare tutti i punti che devi).
È per quanto riguarda il rotore? Che formula devo usare per trovarlo?
A me non sembra poi così difficile classificare i punti critici, se giugiu me lo consente provo a svolgere il mio raginamento.
Si grazie =)
"Giugiu93":
È per quanto riguarda il rotore? Che formula devo usare per trovarlo?
Se la memoria non m'inganna, il gradiente di una funzione di classe $\mathcal {C}^2$ è sempre irrotazionale, cioè ha rotore nullo. In altri termini
\[\text{rot}\nabla f\stackrel{\text{def}}{=}\nabla\times \nabla f=\mathbf{0}\]
"Plepp":
[quote="Giugiu93"]È per quanto riguarda il rotore? Che formula devo usare per trovarlo?
Se la memoria non m'inganna, il gradiente di una funzione di classe $\mathcal {C}^2$ è sempre irrotazionale, cioè ha rotore nullo.[/quote]
Si, penso anche io che sia così!
In generale però, quando ho una funzione a due variabili devo usare quale formula? Ho presente solo quella a 3 variabili
tornando ai punti stazionari
la nostra funzione è $f(x;y)=cos(xy)$, ora questa funzione può assumere al massimo il valore 1 se l'argomento del coseno è $0$ o $2pi$ o $4pi$ o $-2pi$ o $-4pi$... ha una periodicità di $+-2kpi$, sicchè tutte le iperboli equilatere di equazioni $xy=+2kpi$, che si trovano nel I e III quadrante sono massimi, e anche le loro simmetriche rispetto a uno degli assi, quelle di equazioni $xy=-2kpi$ che si trovano nel II e IV quadrante sono massimi. Per trovare i minimi, quota -1, l'argomento del coseno deve essere $pi$ o $3pi$ o $-pi$ $-3pi$ eccetera, così ci troviamo delle altre iperboli che si alternano alle precedenti le cui equazioni sono del tipo $xy=+-(2k+1)pi$.
La nostra funzione sembra un lenzuolo molto arricciato.
la nostra funzione è $f(x;y)=cos(xy)$, ora questa funzione può assumere al massimo il valore 1 se l'argomento del coseno è $0$ o $2pi$ o $4pi$ o $-2pi$ o $-4pi$... ha una periodicità di $+-2kpi$, sicchè tutte le iperboli equilatere di equazioni $xy=+2kpi$, che si trovano nel I e III quadrante sono massimi, e anche le loro simmetriche rispetto a uno degli assi, quelle di equazioni $xy=-2kpi$ che si trovano nel II e IV quadrante sono massimi. Per trovare i minimi, quota -1, l'argomento del coseno deve essere $pi$ o $3pi$ o $-pi$ $-3pi$ eccetera, così ci troviamo delle altre iperboli che si alternano alle precedenti le cui equazioni sono del tipo $xy=+-(2k+1)pi$.
La nostra funzione sembra un lenzuolo molto arricciato.
"Plepp":
[quote="Giugiu93"]È per quanto riguarda il rotore? Che formula devo usare per trovarlo?
Se la memoria non m'inganna, il gradiente di una funzione di classe $\mathcal {C}^2$ è sempre irrotazionale, cioè ha rotore nullo. In altri termini
\[\text{rot}\nabla f\stackrel{\text{def}}{=}\nabla\times \nabla f=\mathbf{0}\][/quote]
lo dice anche wiki
"Giugiu93":
[quote="Plepp"][quote="Giugiu93"]È per quanto riguarda il rotore? Che formula devo usare per trovarlo?
Se la memoria non m'inganna, il gradiente di una funzione di classe $\mathcal {C}^2$ è sempre irrotazionale, cioè ha rotore nullo.[/quote]
Si, penso anche io che sia così!
In generale però, quando ho una funzione a due variabili devo usare quale formula? Ho presente solo quella a 3 variabili
[/quote]Infatti che io sappia il rotore agisce solo su campi tridimensionali.
Comunque, non ho idea del perché, ma all'epoca il prof. ci diceva di vederlo come un campo tridimensionale che aveva la terza componente nulla.
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