Calcolo insieme di olomorfia

[giozh]

data una funzione a valori complessi, come si imposta il ragionamento per calcolare l'insieme di olomorfia di una qualsiasi funzione?

[gugo82]

Diciamo che è un po' come stabilire l'insieme di derivabilità di una funzione reale.

Lo fai ad occhio quando riesci (ad esempio, quando la funzione è assegnata mediante composizione di funzioni elementari), ma se non sei in un caso semplice devi stare attento.

Prova a postare un esempio.

[giozh]

[tex]f (z) = Log(i(z-1))[/tex]
l'insieme di definizione del logaritmo è tutto C meno il punto z=1, ma dalla teoria ricordo che il logaritmo di z è derivabile in C privato dell'asse reale negativo...

[gugo82]

Non si capisce bene la funzione.

Ad ogni modo, il logaritmo è definito in [tex]$\mathbb{C}\setminus \{ 0\}$[/tex] ed ivi polidroma olomorfa.
Il problema della polidromia lo elimini escludendo una curva semplice che congiunge [tex]$0$[/tex] ed [tex]$\infty$[/tex] dal piano (in particolare puoi eliminare la semiretta reale negativa); quindi il trucco di "tagliare il piano" non serve a risolvere un problema di derivabilità, ma un problema di plurivocità della funzione.

[giozh]

era piu semplice di quello che credessi. in soldoni, la funzione logaritmo è definita e continua in C privato dell'origine, da qui ricavo che l'insieme di definizione è C\{1}. per quanto riguarda l'olomorfia, so che il logaritmo è olomorfo in C privato del semiasse reale negativo (come scritto sopra). da qui devo vedere per quali punti dell'argomento si verifica questa condizione, scrivendo z=x+iy.