Calcolo immagine di un insieme tramite funzione 2 varibili
Salve a tutti,
Mi sto preparando per l'esame di analisi 2 e trovo spesso esercizi che danno una funzione e un insieme e chiedono di calcolarne l'immagine. solo che non trovo da nessuna parte un procedimento operativo da applicare sempre.
per esempio:
sia $ f(x,y) = (x-2)^2+y^2, (x,y)in R^2 $
Trovare l'immagine $ f(T) $ dell'insieme $ T={(x,y)in R^2|x^2/4 + y^2 <=1} $
Mi potreste illustrare passo passo quali sono gli step?
Vi ringrazio per l'attenzione ma soprattutto per il mitico sito XD
Mi sto preparando per l'esame di analisi 2 e trovo spesso esercizi che danno una funzione e un insieme e chiedono di calcolarne l'immagine. solo che non trovo da nessuna parte un procedimento operativo da applicare sempre.
per esempio:
sia $ f(x,y) = (x-2)^2+y^2, (x,y)in R^2 $
Trovare l'immagine $ f(T) $ dell'insieme $ T={(x,y)in R^2|x^2/4 + y^2 <=1} $
Mi potreste illustrare passo passo quali sono gli step?
Vi ringrazio per l'attenzione ma soprattutto per il mitico sito XD
Risposte
Ciao Fed03 e benvenuto sul forum,
svolgerti l'esercizio passo passo non ti aiuterà, cominciamo piuttosto a ragionare insieme.
Cosa mi dici dell'insieme T? Se dovessi disegnarlo sul piano cosa otteresti?
svolgerti l'esercizio passo passo non ti aiuterà, cominciamo piuttosto a ragionare insieme.
Cosa mi dici dell'insieme T? Se dovessi disegnarlo sul piano cosa otteresti?
"gio73":
Ciao Fed03 e benvenuto sul forum,
svolgerti l'esercizio passo passo non ti aiuterà, cominciamo piuttosto a ragionare insieme.
Cosa mi dici dell'insieme T? Se dovessi disegnarlo sul piano cosa otteresti?
è un ellisse con $ -2<=x<=2 $ e $ -1<=y<=1 $
Bene, ora passiamo alla nostra funzione: possiamo calcolare le due derivate parziali e uguagliarle a 0 per vedere se ci sono dei punti stazionari e se si trovano all'interno dell'ellisse.
Oppure notare che le sue curve di livello sono delle ...... con centro ... ed il valore minimo la funzione lo assume nel punto $C(....;...)$ dove la funzione vale $f(x_c;y_c)=.....$
Oppure notare che le sue curve di livello sono delle ...... con centro ... ed il valore minimo la funzione lo assume nel punto $C(....;...)$ dove la funzione vale $f(x_c;y_c)=.....$
"gio73":
Bene, ora passiamo alla nostra funzione: possiamo calcolare le due derivate parziali e uguagliarle a 0 per vedere se ci sono dei punti stazionari e se si trovano all'interno dell'ellisse.
Oppure notare che le sue curve di livello sono delle ...... con centro ... ed il valore minimo la funzione lo assume nel punto $C(....;...)$ dove la funzione vale $f(x_c;y_c)=.....$
Allora le derivata parziale della x mi dixe $ x=1 $ e quella della y mi dice $ y=0 $ che sostituite nella $ f $ mi confermano che c'è un punto stazionario interno all'ellisse.
La seconda parte con le linee di livello non so neanche come iniziare...se tu mi potessi spiegare te ne sarei immensamente grato!
mi fai vedere bene le derivate parziali?
A me viene che il punto stazionario ha coordinate $C(2;0)$
A me viene che il punto stazionario ha coordinate $C(2;0)$
Sì ho sbagliato a scrivere... la funzione è con $ (x-1)^2 $ scusami...
Quindi il punto stazionario ha coordinate .... ?
"gio73":
Quindi il punto stazionario ha coordinate .... ?
$ C(1,0) $ xd
Bene, ora si tratta di determinarne la natura (massimo, minimo, sella). Come faresti?
ti dico subito che non lo so visto che nel nostro programma viene trattato molto vagamente ma così a senso direi di studiare il segno delle derviate parziali.
ovvero le x decrescono quando $ x<1 $ e crescono quando $ x>1 $
le y decrescono con $ y<0 $ e crescono con $ y>0 $
sempre che non stia dicendo una mega cappellata.
Altrimenti potrei usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange avendo una funzione e un vincolo? o anche questa è una cappellata mostruosa?
grazie ancora della pazienza gio
ovvero le x decrescono quando $ x<1 $ e crescono quando $ x>1 $
le y decrescono con $ y<0 $ e crescono con $ y>0 $
sempre che non stia dicendo una mega cappellata.
Altrimenti potrei usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange avendo una funzione e un vincolo? o anche questa è una cappellata mostruosa?
grazie ancora della pazienza gio
non mi abbandonare così gio XD
Ciao,
ho passato qualche giorno in montagna. Torniamo a noi: per determinare la natura del punto critico puoi ragionare sulle derivate seconde e sulla matrice hessiana, oppure puoi fare qualche osservazione che ti risparmierebbe un po' di calcoli.
ho passato qualche giorno in montagna. Torniamo a noi: per determinare la natura del punto critico puoi ragionare sulle derivate seconde e sulla matrice hessiana, oppure puoi fare qualche osservazione che ti risparmierebbe un po' di calcoli.
"gio73":
Ciao,
ho passato qualche giorno in montagna. Torniamo a noi: per determinare la natura del punto critico puoi ragionare sulle derivate seconde e sulla matrice hessiana, oppure puoi fare qualche osservazione che ti risparmierebbe un po' di calcoli.
immaginavo fossi stato fuori a riposarti!
tornando a noi putroppo ti devo cassare l'idea.
qeulllo che ti ho proposto è un esercizio tipo che si trova in un nostro compito di analisi 2 ma ti posso assicurare che non abbiamo parlato di matrice hessiana quindi dobbiamo trovare un'altra strada.
limiti nelle 2 direzioni?
"Fed03":
sia $ f(x,y) = (x-1)^2+y^2, (x,y)in R^2 $
Trovare l'immagine $ f(T) $ dell'insieme $ T={(x,y)in R^2|x^2/4 + y^2 <=1} $
Ok, la nostra funzione è quella scritta sopra e il punto critico è $C(1;0)$, puoi sostituire questi valori a x e y vedi che la tua funzione vale... ?
$ f(C) = 0 $
Bene
ricordati che la nostra funzione è una somma di due quadrati $(x-1)^2$ e $y^2$, essa vale 0 se entrambi i quadrati valgono 0, cioè se ci troviamo nel punto $C$. Se ci troviamo in qualsiasi altro punto la funzione sarà la somma di due quantità positive, tutt'al più una delle due varrà 0 ma l'altra sarà positiva, solo nel punto $C$ la nostra funzione ha entrambi gli addendi pari a 0. Ora mi sai dire la natura del punto stazionario $C$?
ricordati che la nostra funzione è una somma di due quadrati $(x-1)^2$ e $y^2$, essa vale 0 se entrambi i quadrati valgono 0, cioè se ci troviamo nel punto $C$. Se ci troviamo in qualsiasi altro punto la funzione sarà la somma di due quantità positive, tutt'al più una delle due varrà 0 ma l'altra sarà positiva, solo nel punto $C$ la nostra funzione ha entrambi gli addendi pari a 0. Ora mi sai dire la natura del punto stazionario $C$?
Contando che è sempre maggiore o uguale a zero, ed è zero solo in C direi che C è un punto di minimo
ok quindi l'immagine va da 0 a ?
Prova a dire cone faresti a trovare i punti, appartenenti all'insieme $T$, in corrispondenza dei quali la funzione assume il valore massimo.
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