Calcolo gradiente semplice
sera, volevo capire un passaggio del libro che non capisco a fondo.
devo calcolare il gradiente per r di: $nabla_x(1/(|vecr-vecr'))$
Io ho operato come (faccio solo la componente x): $[nabla_r(1/sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))]_x=$
$=(sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))^(-1/2)=-1/2(sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))^(-3/2)*2(x-x')=(x-x')/(|vecr-vecr'|^3)$
evidentemente y,z si comportnao uguali e ho: $(r-r')/(|vecr-vecx'|^3)$
Detto ciò il suggerimento del libro è il seguente (per svolgere il calcolo) - e io non capisco bene il suggerimento- :
$d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$
Cioè sembra quasi suggerire di chiamare $|vecr-vecr'|=|g(x)|$ e fare la derivata del valore assoluto in x.
Ma questa cosa mi lascia perplesso perché in realtà io sto "derivando" inteso come "gradiente" in r cioè su un qualcosa 3-D. (Quindi non capisco bene come chiamare una cosa che dipende da x,y ,z come funzione g(x) solo di 1 variabile uhm) Insomma non capisco bene questo trick che non mi sembra formalissimo. Sbaglio?
devo calcolare il gradiente per r di: $nabla_x(1/(|vecr-vecr'))$
Io ho operato come (faccio solo la componente x): $[nabla_r(1/sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))]_x=$
$=(sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))^(-1/2)=-1/2(sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))^(-3/2)*2(x-x')=(x-x')/(|vecr-vecr'|^3)$
evidentemente y,z si comportnao uguali e ho: $(r-r')/(|vecr-vecx'|^3)$
Detto ciò il suggerimento del libro è il seguente (per svolgere il calcolo) - e io non capisco bene il suggerimento- :
$d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$
Cioè sembra quasi suggerire di chiamare $|vecr-vecr'|=|g(x)|$ e fare la derivata del valore assoluto in x.
Ma questa cosa mi lascia perplesso perché in realtà io sto "derivando" inteso come "gradiente" in r cioè su un qualcosa 3-D. (Quindi non capisco bene come chiamare una cosa che dipende da x,y ,z come funzione g(x) solo di 1 variabile uhm) Insomma non capisco bene questo trick che non mi sembra formalissimo. Sbaglio?
Risposte
"sime-one":
Detto ciò il suggerimento del libro è il seguente (per svolgere il calcolo) - e io non capisco bene il suggerimento- :
$d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$
Cioè sembra quasi suggerire di chiamare $|vecr-vecr'|=|g(x)|$ e fare la derivata del valore assoluto in x.
E' la derivata di una funzione composta:
$d/(dx)f(g(x)) = (d f(g))/(dg) (d g(x))/(dx)$
dove $f(g) = |g|$ e la sua derivata e' la funzione "segno".
E' tutto qui. Perche' non abbiano scritto subito che si arriva alla funzione segno, non lo so.
Ma questa cosa mi lascia perplesso perché in realtà io sto "derivando" inteso come "gradiente" in r cioè su un qualcosa 3-D. (Quindi non capisco bene come chiamare una cosa che dipende da x,y ,z come funzione g(x) solo di 1 variabile uhm) Insomma non capisco bene questo trick che non mi sembra formalissimo. Sbaglio?
In generale non sbagli, ma qui mi sembra che interessi solo il gradiente nella direzione $x$,
come e' riportato qui (il pedice $x$)
devo calcolare il gradiente per r di: $nabla_x(1/(|vecr-vecr'))$
quindi alla fine, la funzione in $x, y, z$ diventa come una funzione nella sola $x$.
Ciao sime-one,
Benvenuto sul forum!
Attenzione che il gradiente di una funzione scalare è un vettore, non uno scalare...
Si ha:
$ \nabla (1/|\vec r - \vec r'|) = - (\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|^3 $
Facciamolo con $\vec r = x\mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \implies |\vec r| = r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $, poi arrivare a ciò che hai tu è immediato, basta una semplice sostituzione:
$ \nabla (1/r) = \nabla (1/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) = $
$ = (\del)/(\del x)(x^2 + y^2 + z^2)^{- 1/2} \mathbf{i} + (\del)/(\del y)(x^2 + y^2 + z^2)^{- 1/2} \mathbf{j} + (\del)/(\del z)(x^2 + y^2 + z^2)^{- 1/2} \mathbf{k} = $
$ = - 1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^{- 3/2} 2x \mathbf{i} - 1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^{- 3/2} 2y \mathbf{j} - 1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^{- 3/2} 2z \mathbf{k} = $
$ = \frac{- x \mathbf{i} - y \mathbf{j} - z \mathbf{k}}{r^3} = - \frac{\vec r}{r^3} = - \frac{\vec r}{|\vec r|^3}$
Benvenuto sul forum!
"sime-one":
evidentemente y,z si comportano uguali e ho: $ (r-r')/(|\vec r-\vec x'|^3) $
Attenzione che il gradiente di una funzione scalare è un vettore, non uno scalare...
Si ha:
$ \nabla (1/|\vec r - \vec r'|) = - (\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|^3 $
Facciamolo con $\vec r = x\mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \implies |\vec r| = r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $, poi arrivare a ciò che hai tu è immediato, basta una semplice sostituzione:
$ \nabla (1/r) = \nabla (1/\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) = $
$ = (\del)/(\del x)(x^2 + y^2 + z^2)^{- 1/2} \mathbf{i} + (\del)/(\del y)(x^2 + y^2 + z^2)^{- 1/2} \mathbf{j} + (\del)/(\del z)(x^2 + y^2 + z^2)^{- 1/2} \mathbf{k} = $
$ = - 1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^{- 3/2} 2x \mathbf{i} - 1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^{- 3/2} 2y \mathbf{j} - 1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^{- 3/2} 2z \mathbf{k} = $
$ = \frac{- x \mathbf{i} - y \mathbf{j} - z \mathbf{k}}{r^3} = - \frac{\vec r}{r^3} = - \frac{\vec r}{|\vec r|^3}$
@Quinzio: Di solito, in testi di Fisica Matematica, $nabla_x$ indica il gradiente fatto rispetto alle coordinate spaziali.
Scusate se ripesco questa discussione ma mi ha incuriosito e mi interesserebbe poter approfondire con voi.
In particolare rispondo a Quinzio (ma chiunque può replicare obv) che mi pare aver azzeccato il punto, però non capisco perché sia una derivata di una funzione composta. Come dice OP io avrei fatto il gradiente in generale e poi avrei preso la componente x del risultato che ottiene. Perché invece posso ridurmi a una derivata di una funzione di singola variabile mi è ostico da capire.
La prima componente del gradiente, in coordinate cartesiane, è una derivata parziale forse da questo?
Come ottengo quindi il risultato: $(x-x')/(|vecr-vecr'|^3)$
applicando attivamente il calcolo: $d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$? Non riesco a svolgere il conto.
In particolare rispondo a Quinzio (ma chiunque può replicare obv) che mi pare aver azzeccato il punto, però non capisco perché sia una derivata di una funzione composta. Come dice OP io avrei fatto il gradiente in generale e poi avrei preso la componente x del risultato che ottiene. Perché invece posso ridurmi a una derivata di una funzione di singola variabile mi è ostico da capire.
La prima componente del gradiente, in coordinate cartesiane, è una derivata parziale forse da questo?
Come ottengo quindi il risultato: $(x-x')/(|vecr-vecr'|^3)$
applicando attivamente il calcolo: $d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$? Non riesco a svolgere il conto.
"pistacios":
Come ottengo quindi il risultato: $ (x-x')/(|vecr-vecr'|^3 $
No, attenzione: se davvero con $\nabla_x $ intendiamo la sola componente lungo l'asse $x$ si ha:
$\nabla_x (1/(|vecr-vecr'|)) = - (x-x')/(|vecr-vecr'|^3) \mathbf i $
Tenere presente che il gradiente è un vettore, non uno scalare. Se invece come ha scritto gugo82 con $\nabla_x $ ci si riferisce alle coordinate spaziali (il che onestamente mi pare più ragionevole) allora il risultato è quello che ho già scritto nel mio post precedente:
$ \nabla (1/|\vec r - \vec r'|) = - (\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|^3 $
Un'altra notazione che si usa in Campi Elettromagnetici è $\nabla_t $ col quale ci si riferisce alle coordinate trasverse ($x$ e $y$) perché tipicamente si usa $z$ come asse di propagazione/riflessione.
Sì, certamente, mi è chiaro quello che dici. Ho solo tagliato corto ma è tutto corretto e quello riesco a vederlo. Non ho messo il versore solo per pigrizia pensando ci intendessimo, mentre l'entità vettoriale è quella da te scritta.
Il mio dubbio era invece che non capisco bene perché il suggerimento del libro di OP dicesse che per il calcolo di una componente di quel gradiente si potesse sfruttare la formula $d/(dx)|g(x)|veci=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)veci$, tesi avvallata da quinzio,ma non ho capito perché e soprattutto come si svolga nel contesto "gradienti"
Io so che La prima componente del gradiente, in coordinate cartesiane, è una derivata parziale e fin qua ci sono.
Perché invece posso ridurmi a una derivata di una funzione di singola variabile mi è ostico da capire e soprattutto perché posso usare la formula della derivata composta?
non so se sono riuscito a tramandare meglio i miei dubbi. però era questo che volevo capire, il resto del discorso mi è più che chiaro
Il mio dubbio era invece che non capisco bene perché il suggerimento del libro di OP dicesse che per il calcolo di una componente di quel gradiente si potesse sfruttare la formula $d/(dx)|g(x)|veci=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)veci$, tesi avvallata da quinzio,ma non ho capito perché e soprattutto come si svolga nel contesto "gradienti"
Io so che La prima componente del gradiente, in coordinate cartesiane, è una derivata parziale e fin qua ci sono.
Perché invece posso ridurmi a una derivata di una funzione di singola variabile mi è ostico da capire e soprattutto perché posso usare la formula della derivata composta?
non so se sono riuscito a tramandare meglio i miei dubbi. però era questo che volevo capire, il resto del discorso mi è più che chiaro
Proprio nessuno? se non sono stato chiaro provo a rispiegare il dubbio @pilloeffe? @Quinzio? 
"pistacios":
Il mio dubbio era invece che non capisco bene perché il suggerimento del libro di OP dicesse che per il calcolo di una componente di quel gradiente si potesse sfruttare la formula $d/(dx)|g(x)|veci=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)veci$, tesi avvallata da quinzio,ma non ho capito perché e soprattutto come si svolga nel contesto "gradienti".
Derivazione della funzione composta.
Sì, esatto, ma quello l'ho capito. Non riesco a capire operativamente come si svolga in questo caso preciso. CIoè farlo coincidere con questa robetta: $[nabla_r(1/sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))]_x=$
Per comodità, scegliamo $r' = mathbf(0)$, tanto traslazione più, traslazione meno...
Vogliamo mostrare che, posto $rho=sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = |vec(r)|$, risulta $(partial)/(\partial x) [1/rho] = - x/rho^3$ .
Posto:
$g(rho) := 1/rho$,
per derivazione della funzione composta abbiamo:
$(partial)/(\partial x) [g(rho)] = ("d" g)/("d"rho) * (partial rho)/(\partial x) = -1/rho^2 * (2x)/(2rho) = - x/rho^3$.
In generale, vale:
$nabla g(rho) = ("d" g)/("d" rho) * nabla rho = (g^{\prime}(rho))/rho * vec(r)$
con $nabla = nabla_(vec(r)) = ((partial )/(partial x), (partial )/(partial y), (partial )/(partial z))$ gradiente fatto rispetto alle tre coordinate "spaziali".
Vogliamo mostrare che, posto $rho=sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = |vec(r)|$, risulta $(partial)/(\partial x) [1/rho] = - x/rho^3$ .
Posto:
$g(rho) := 1/rho$,
per derivazione della funzione composta abbiamo:
$(partial)/(\partial x) [g(rho)] = ("d" g)/("d"rho) * (partial rho)/(\partial x) = -1/rho^2 * (2x)/(2rho) = - x/rho^3$.
In generale, vale:
$nabla g(rho) = ("d" g)/("d" rho) * nabla rho = (g^{\prime}(rho))/rho * vec(r)$
con $nabla = nabla_(vec(r)) = ((partial )/(partial x), (partial )/(partial y), (partial )/(partial z))$ gradiente fatto rispetto alle tre coordinate "spaziali".
Ok vista così funziona bene e credo che quindi il mio dubbio sia stupidissimo ma non riesco proprio ad arrivarci.
Ponendo $rho$ come da te fatto mi è chiaro che $rho=|vecr|$ modulo in senso vettoriale.
Quello che mi manda in pappa è che $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ è la derivazione di una funzione composta, ma composta con un modulo in senso "numeri reali" (aka valore assoluto, dato che siamo in funzione di una variabile). Ed è qui che mi incasino perché la derivata di un valore assoluto è un conto e sappiamo bene essere $(g(x))/(|g(x)|)=(|g(x)|)/(g(x))$ che dir si voglia, mentre la derivazione che svolgo su rho rispetto ad x è una semplice derivazione di "radice" (rho a conti fatti è una radice, ossia il modulo di un vettore!).
Insomma, non riesco a vedere perché $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ sia un aiuto utile perché a me sembra che lì dica di derivare un valore assoluto che io non vedo proprio da nessuna parte.
Metto in spoiler perché non aggiunge nulla, ma ripete la domanda in salsa diversa.
Mi rendo conto di essermi bloccato su una cosa stupida, ma sono stupido
.... però voglio capirla 
Ponendo $rho$ come da te fatto mi è chiaro che $rho=|vecr|$ modulo in senso vettoriale.
Quello che mi manda in pappa è che $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ è la derivazione di una funzione composta, ma composta con un modulo in senso "numeri reali" (aka valore assoluto, dato che siamo in funzione di una variabile). Ed è qui che mi incasino perché la derivata di un valore assoluto è un conto e sappiamo bene essere $(g(x))/(|g(x)|)=(|g(x)|)/(g(x))$ che dir si voglia, mentre la derivazione che svolgo su rho rispetto ad x è una semplice derivazione di "radice" (rho a conti fatti è una radice, ossia il modulo di un vettore!).
Insomma, non riesco a vedere perché $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ sia un aiuto utile perché a me sembra che lì dica di derivare un valore assoluto che io non vedo proprio da nessuna parte.
Metto in spoiler perché non aggiunge nulla, ma ripete la domanda in salsa diversa.
Mi rendo conto di essermi bloccato su una cosa stupida, ma sono stupido
.... però voglio capirla
@gugo82, in attesa che passi a redarguirmi mi sono spiegato così il dubbio del mio ultimo post, secondo te potrebbe andare?
La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$. E in effetti dietro quella radice in tal modo si maschera la derivata della funzione composta "modulo" che tanto mi turbava:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte. Potrebbe andare bene come risposta ai miei dubbi? Io mi sono risposto così
Grazie per la tua gentile pazienza e aiuto!
La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$. E in effetti dietro quella radice in tal modo si maschera la derivata della funzione composta "modulo" che tanto mi turbava:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte. Potrebbe andare bene come risposta ai miei dubbi? Io mi sono risposto così
Grazie per la tua gentile pazienza e aiuto!
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