Calcolo gradiente
Ho la seguente funzione definita in $RR^2$
$f(x,y)=(((x^3+y^3)/(x^2+y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)))$
verifico facilmente che è continua in $(0,0)$ e per calcolare il gradiente sempre nell'origine posso utilizzare le restrizioni di $f$ lungo gli assi e conludo che il gradiente non esiste perchè non esistono le derivate in quel punto. E' corretto?
$f(x,y)=(((x^3+y^3)/(x^2+y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)))$
verifico facilmente che è continua in $(0,0)$ e per calcolare il gradiente sempre nell'origine posso utilizzare le restrizioni di $f$ lungo gli assi e conludo che il gradiente non esiste perchè non esistono le derivate in quel punto. E' corretto?
Risposte
il ragionamento è giusto ma sicuro che non esiste? a me risulta (1;1)...
Infatti $f(x,y)|_(y=0) = x$ e $ f(x,y)|_(x=0)=y$...
Infatti $f(x,y)|_(y=0) = x$ e $ f(x,y)|_(x=0)=y$...
In effetti nell'origine esistono tutte le derivate direzionali.
Se $\mathbf{v} = (v_1, v_2)\ne (0,0)$, hai che
$D_{\mathbf{v}} f(0,0) = \frac{v_1^3+v_2^3}{v_1^2+v_2^2}$.
Da qui puoi concludere che $f$ non è differenziabile nell'origine poiché l'applicazione $\mathbf{v}\mapsto D_{\mathbf{v}} f(0,0)$ non è lineare (naturalmente tale mappa si considera definita anche nell'origine, dove si pone $=0$).
Se $\mathbf{v} = (v_1, v_2)\ne (0,0)$, hai che
$D_{\mathbf{v}} f(0,0) = \frac{v_1^3+v_2^3}{v_1^2+v_2^2}$.
Da qui puoi concludere che $f$ non è differenziabile nell'origine poiché l'applicazione $\mathbf{v}\mapsto D_{\mathbf{v}} f(0,0)$ non è lineare (naturalmente tale mappa si considera definita anche nell'origine, dove si pone $=0$).
sì ma lui chiedeva il gradiente, non la differenziabilità...
Va beh, mi sono allargato un po'...
E' chiaro che se esistono tutte le derivate direzionali esiste anche il gradiente.
E' chiaro che se esistono tutte le derivate direzionali esiste anche il gradiente.
"antani":
sì ma lui chiedeva il gradiente, non la differenziabilità...
la differenziabilità era il passo successivo dopo il calcolo del gradiente
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