Calcolo gradiente
Ciao a tutti!
Ho un atroce dubbio che mi rende le notti insonne:
Se \(\displaystyle \bigtriangledown u= (z^2 u_x,z^2 u_y,u_z) \) come faccio a calcolare \(\displaystyle |\bigtriangledown u|^2 \)?
Ho un atroce dubbio che mi rende le notti insonne:
Se \(\displaystyle \bigtriangledown u= (z^2 u_x,z^2 u_y,u_z) \) come faccio a calcolare \(\displaystyle |\bigtriangledown u|^2 \)?
Risposte
mi servirebbe un chiarimento prima di risponderti: cosa sono $u_x , u_y$ e $u_z$? Di solito io indico i versori del sistema di riferimento in quel modo, ma per come hai scritto \( \displaystyle \bigtriangledown u \) non avrebbe senso...
Vabbè comunque, fingendo che siano semplicemente le componenti del vettore \( \displaystyle \bigtriangledown u \), basta ricordarti che il modulo al quadrato di un vettore $\vec v = (x,y,z)$ è $x^2 + y^2 + z^2$... e quindi avresti $z^4 u_x^2 + z^4 u_y^2 + u_z ^2$
Vabbè comunque, fingendo che siano semplicemente le componenti del vettore \( \displaystyle \bigtriangledown u \), basta ricordarti che il modulo al quadrato di un vettore $\vec v = (x,y,z)$ è $x^2 + y^2 + z^2$... e quindi avresti $z^4 u_x^2 + z^4 u_y^2 + u_z ^2$
$u_x, u_y, u_z$ sono le derivate di $ u \in C^2 $ soluzione di un problema di Dirichlet. Il problema nasce nel momento in cui devo calcolare
$\int_{\Omega} u \Delta u dH_3 = \int_{\Omega} div ( u \nabla u ) dH_3 - \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dH_3 $
dove $ \Delta u = div ( \nabla u )$ e $ \nabla u = (z^2 u_x, z^2 u_y, u_z) $. Nelle soluzioni che ho $ \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dH_3 = \int_{\Omega} z^2 u_{x} ^2 + z^2 u_y ^2 + u_z^2 dH_3$, perchè?
$\int_{\Omega} u \Delta u dH_3 = \int_{\Omega} div ( u \nabla u ) dH_3 - \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dH_3 $
dove $ \Delta u = div ( \nabla u )$ e $ \nabla u = (z^2 u_x, z^2 u_y, u_z) $. Nelle soluzioni che ho $ \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dH_3 = \int_{\Omega} z^2 u_{x} ^2 + z^2 u_y ^2 + u_z^2 dH_3$, perchè?
beh ma è come ti ho scritto prima allora, $ \int_{\Omega} |\nabla u|^2 dH_3 $ è uguale a $ \int_{\Omega} z^2 u_{x} ^2 + z^2 u_y ^2 + u_z^2 dH_3 $ perchè $|\nabla u|^2$ è semplicemente la norma euclidea di un vettore, cioè di $\nabla u$, elevata al quadrato 
emm il problema è che c'è un $z^2$ e secondo me (concordando con quello che dici tu) dovrebbe esserci un $z^4$..mi sfugge qualche proprietà?
nessun altro? 
hai ragione, non me ne ero accorto. Ero un po' rintronato quando ti ho risposto, scusami
Giusto per scrupolo, controlla che $ \nabla u$ sia quello che hai scritto e non $ \nabla u = (z u_x, z u_y, u_z) $.
Supponendo che sia giusto com'è, non capisco una cosa:
ora, di u io so soltanto che è un generico vettore di $C^2$ (che non so cosa sia... intendi forse $CC^2$, ovvero il campo dei complessi al quadrato? ma così u dovrebbe avere 4 componenti, e quindi 4 derivate parziali...) e che è soluzione di un PdD, problema che immagino sia nello spazio visto che u ha 3 componenti.
dopodichè, se $ u_x, u_y, u_z $ sono le derivate parziali di u, allora avrei $ \nabla u = (u_x, u_y, u_z) $... quindi non so quella z da dove salti fuori.
magari sono io che sono scemo e non conosco delle notazioni che dovrei conoscere, però sappi che, a parte le 6 operazioni (le 4 solite + potenze e radici) non ho mai trovato un simbolo che fosse usato da tutti con lo stesso significato. Quindi se chiedi aiuto spiega bene cosa intendi con tutti i simboli che usi.
Giusto per scrupolo, controlla che $ \nabla u$ sia quello che hai scritto e non $ \nabla u = (z u_x, z u_y, u_z) $.
Supponendo che sia giusto com'è, non capisco una cosa:
"irelimax":
ux,uy,uz sono le derivate di u∈C2
ora, di u io so soltanto che è un generico vettore di $C^2$ (che non so cosa sia... intendi forse $CC^2$, ovvero il campo dei complessi al quadrato? ma così u dovrebbe avere 4 componenti, e quindi 4 derivate parziali...) e che è soluzione di un PdD, problema che immagino sia nello spazio visto che u ha 3 componenti.
dopodichè, se $ u_x, u_y, u_z $ sono le derivate parziali di u, allora avrei $ \nabla u = (u_x, u_y, u_z) $... quindi non so quella z da dove salti fuori.
magari sono io che sono scemo e non conosco delle notazioni che dovrei conoscere, però sappi che, a parte le 6 operazioni (le 4 solite + potenze e radici) non ho mai trovato un simbolo che fosse usato da tutti con lo stesso significato. Quindi se chiedi aiuto spiega bene cosa intendi con tutti i simboli che usi.
allora, con $u \in C^2$ intendo una funzione di classe $C^2$ quindi derivabile 2 volte, con derivate continue (pensavo fosse una notazione standard per questo non ho specificato ) definita nella chiusura di un aperto regolare e che è soluzione di un problema di Dirichlet $z^2(u_{x x}+u_{yy}) + u_{zz} = 1$ in omega con condizione $u=0$ nel bordo. Sapendo che un problema di Dirichlet è del tipo $\Delta u = f$ dove $\Delta u= div (\nabla u)$ e dove $\nabla u$ è il gradiente (div =divergenza) dovremmo convenire che $\nabla u = (z^2 u_x ,z^2 u_y , u_z)$. è da qui che spunta z^2. sbaglio?
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