Calcolo - Forma differenziale
Salve a tutti,
chi di voi saprebbe indicarmi (con un esempio pratico) come poter risolvere questo esercizio sulle formule differenziali ???
Esercizio:
Individuare la funzione B(x,y) per cui la forma differenziale data risulta chiusa ed esatta sul dominio.
Calcolare una primitiva.
W= (x * e^x * cos y ) dx + B(x,y) dy
Grazie mille per il vostro aiuto.....
chi di voi saprebbe indicarmi (con un esempio pratico) come poter risolvere questo esercizio sulle formule differenziali ???
Esercizio:
Individuare la funzione B(x,y) per cui la forma differenziale data risulta chiusa ed esatta sul dominio.
Calcolare una primitiva.
W= (x * e^x * cos y ) dx + B(x,y) dy
Grazie mille per il vostro aiuto.....
Risposte
posto $A(x,y)=xe^xcosy$,la forma differenziale è chiusa se
$ (partial A)/(partialy)=(partialB)/(partial x) $
siccome $ (partial A)/(partialy)=-xe^xseny $ ,$B(x,y)$ sarà una primitiva ricavata dall'integrale $ -senyint xe^x dx $
tieni conto del fatto che $A(x,y)$ e $B(x,y)$ risultano definite in $mathbbR^2$ e quindi la forma differenziale è anche esatta
$ (partial A)/(partialy)=(partialB)/(partial x) $
siccome $ (partial A)/(partialy)=-xe^xseny $ ,$B(x,y)$ sarà una primitiva ricavata dall'integrale $ -senyint xe^x dx $
tieni conto del fatto che $A(x,y)$ e $B(x,y)$ risultano definite in $mathbbR^2$ e quindi la forma differenziale è anche esatta
Perdonami ma potresti essere un po più chiaro l'esercizio in cosa consiste praticamente ?? Ciò che mi hai scritto l'ho capito ma poi come dovrei proseguire secondo te ?? Perdona le mie domande banali, ma faccio un po di confusione.....
l'esercizio consiste nel trovare una $B(x,y)$ tale che $ (partialB)/(partial x) =(partialA)/(partial y) $
e la trovi risolvendo l'integrale che ho scritto e dando alla costante arbitraria un valore qualsiasi,magari zero
e la trovi risolvendo l'integrale che ho scritto e dando alla costante arbitraria un valore qualsiasi,magari zero
quindi mi basta risolvere quell'integrale e basta tutto qui.????
Perdonami se ti faccio questa che potrebbe sembrarti una domanda molto stupida ma è la prima volta che mi trovo ad operare con queste forme differenziali.....
UN Grazie di cuore anticipato, per la tua gentilezza........... e chiarezza nel rispondermi.
Perdonami se ti faccio questa che potrebbe sembrarti una domanda molto stupida ma è la prima volta che mi trovo ad operare con queste forme differenziali.....
UN Grazie di cuore anticipato, per la tua gentilezza........... e chiarezza nel rispondermi.
"ViLu90":
quindi mi basta risolvere quell'integrale e basta tutto qui.????
sì,tutto qui
spero però che sia chiaro tutto il procedimento
Più o meno si... ovviamente se riuscissi a trovare un esercizio svolto, da prendere come guida e studiarlo sarebbe meglio... però dai meglio di niente....
stesso tipo di esercizio con questa forma differenziale
$xy^2dx+B(x,y)dy$
$A(x,y)=xy^2$
$ (partialA)/(partial y)=2xy $
bisogna determinare $B(x,y)$ tale che $ (partialB)/(partial x)=2xy $
$ yint 2xdx =x^2y+c $
ad esempio,per $B(x,y)=x^2y$ la forma differenziale è esatta
$xy^2dx+B(x,y)dy$
$A(x,y)=xy^2$
$ (partialA)/(partial y)=2xy $
bisogna determinare $B(x,y)$ tale che $ (partialB)/(partial x)=2xy $
$ yint 2xdx =x^2y+c $
ad esempio,per $B(x,y)=x^2y$ la forma differenziale è esatta
Ciao Stormy,
e ciao a tutti voi del forum allora dovevo provare a risolvere l'integrale
$ int_( )^( ) xe^x dx $
l'ho risolto cosi (ma spero che qualcuno di voi mi dia conferma della bontà di ciò che ho fatto)
$ int_( )^( ) xe^x dx $ = $ x e^x $ - $ int_( )^( ) e^x dx $ = $ x e^x - e^x + C$ = $e^x ( x-1) + C $
alla costante C do valore zero quindi si può eliminare quindi il risultato dell'esercizio da me proposto dovrebbe essere
$-sen y$ $ e^x (x-1) $
posso lasciarlo pure cosi o devo fare qualche altro passaggio magari ???
Grazie mille a tutti voi e buon inizio di settimana a tutti........
e ciao a tutti voi del forum allora dovevo provare a risolvere l'integrale
$ int_( )^( ) xe^x dx $
l'ho risolto cosi (ma spero che qualcuno di voi mi dia conferma della bontà di ciò che ho fatto)
$ int_( )^( ) xe^x dx $ = $ x e^x $ - $ int_( )^( ) e^x dx $ = $ x e^x - e^x + C$ = $e^x ( x-1) + C $
alla costante C do valore zero quindi si può eliminare quindi il risultato dell'esercizio da me proposto dovrebbe essere
$-sen y$ $ e^x (x-1) $
posso lasciarlo pure cosi o devo fare qualche altro passaggio magari ???
Grazie mille a tutti voi e buon inizio di settimana a tutti........
va bene,hai trovato $B(x,y)$ 
"stormy":
va bene,hai trovato $B(x,y)$
Una piccolissima soddisfazione, comunque senza il tuo aiuto non ci sarei riuscito grazie, adesso sto sbattendo la testa su un integrale curvilineo che non riesco a risolvere.....
Buon pranzo.....
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