Calcolo flusso del rotore
Si calcoli il flusso del rotore del campo vettoriale $F=(x,y,z)$ attraverso la superficie $S$ di equazione
$z=1-x^2-y^2$
con $(x,y)$ appartenente al cerchio $C$ con centro nell'origine e raggio $1$; si assuma che $S$ sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente negativa.
Allora io l'ho svolto in questo modo:
1)Sono passata in coordinate polari
2)ho trovato il det della matrice in cui nella prima colonna ho messo il vettore $F$ composto quello della superficie, nella seconda e nella terza rispettivamente le derivate parziali di quest'ultimo rispetto a $\rho$ e a $\Theta$
3)ho svolto l'integrale del determinate che ho trovato esteso al dominio $D={0\leq\rho\leq1,0\leq\Theta\leq2\pi}$
e il risultato finale è $(19/15)\pi$
volevo sapere se il ragionamento è corretto.
$z=1-x^2-y^2$
con $(x,y)$ appartenente al cerchio $C$ con centro nell'origine e raggio $1$; si assuma che $S$ sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente negativa.
Allora io l'ho svolto in questo modo:
1)Sono passata in coordinate polari
2)ho trovato il det della matrice in cui nella prima colonna ho messo il vettore $F$ composto quello della superficie, nella seconda e nella terza rispettivamente le derivate parziali di quest'ultimo rispetto a $\rho$ e a $\Theta$
3)ho svolto l'integrale del determinate che ho trovato esteso al dominio $D={0\leq\rho\leq1,0\leq\Theta\leq2\pi}$
e il risultato finale è $(19/15)\pi$
volevo sapere se il ragionamento è corretto.
Risposte
è vero e che esercizio è????????
Posso comunque chiederti se il rotore non fosse nullo come si procede in un caso simile? Come ho fatto io? O il procedimento è sbagliato?
Ti ringrazio tutto chiarissimo. L'errore è stato mio ho letto male la traccia 
, il campo vettoriale era $(y,z,x)$ ma il ragionamento è questo !!! 
, il campo vettoriale era $(y,z,x)$ ma il ragionamento è questo !!!
Scusami piccola domanda .... quando si calcola il flusso del campo (o del rotore) e ho parametrizzato la superficie in cordinate polari devo moltiplicare anche per lo jacobiano della parametrizzazione che sarebbe uguale a $\rho$???
Non puoi fare lo jacobiano della parametrizzazione, visto che la matrice jacobiana non è quadrata.
Quello che ti devi ricordare è di scrivere il \(\text d \vec S\), seguendo il procedimento già illustrato: \(\text d \vec S = \hat n\, \text d S = \vec r_\rho \wedge \vec r_\vartheta\).
Quello che ti devi ricordare è di scrivere il \(\text d \vec S\), seguendo il procedimento già illustrato: \(\text d \vec S = \hat n\, \text d S = \vec r_\rho \wedge \vec r_\vartheta\).
Ciao! Non capisco come calcoli il versore... potresti gentilmente spiegarmelo?
La consegna dice che la terza componente del versore normale sia non positiva quindi andro' a scrivere il versore come v=(x,y,-z) giusto?
Grazie!
La consegna dice che la terza componente del versore normale sia non positiva quindi andro' a scrivere il versore come v=(x,y,-z) giusto?
Grazie!
Grazie mille TeM!
Ho usato la "ricetta" per svolgere quest'altro esercizio.
Sia S la superficie sferica
$ S={(x,y,x):x^2+y^2+z^2=R^2; x>=0, y>=0, z>=0} $
e \(\displaystyle V(x,y,z)=(z,x,y) \) campo vettoriale.
• Scegli un orientamento della superficie e calcola nei versi distinti il flusso del rotore.
Ho quindi parametrizzato in polari, da cui ottengo
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=sqrt(R^2-rho^2) ):} $
e calcolato $ hat(n) $ ... dopodichè ho usato la formula di integrazione ma mi vengono delle cose impossibili
.
Non ci sto capendo molto, spero tu mi possa ancora aiutare, grazie!
ps: va bene se andiamo avanti su questo topic, visto che riguarda sempre lo stesso argomento? Penso possa servire ad altre persone avere più esempi e risoluzioni!
Ho usato la "ricetta" per svolgere quest'altro esercizio.
Sia S la superficie sferica
$ S={(x,y,x):x^2+y^2+z^2=R^2; x>=0, y>=0, z>=0} $
e \(\displaystyle V(x,y,z)=(z,x,y) \) campo vettoriale.
• Scegli un orientamento della superficie e calcola nei versi distinti il flusso del rotore.
Ho quindi parametrizzato in polari, da cui ottengo
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=sqrt(R^2-rho^2) ):} $
e calcolato $ hat(n) $ ... dopodichè ho usato la formula di integrazione ma mi vengono delle cose impossibili
.Non ci sto capendo molto, spero tu mi possa ancora aiutare, grazie!
ps: va bene se andiamo avanti su questo topic, visto che riguarda sempre lo stesso argomento? Penso possa servire ad altre persone avere più esempi e risoluzioni!
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