Calcolo flusso del campo vettoriale
Salve a tutti! Sto cercando di risolvere un'esercizio sul flusso del rotore ma ho qualche problema con il versore normale 
.
L'esercizio è il seguente:
Si calcoli il flusso del rotore del campo vettoriale F=(y,z,x) attraverso la superficie S di equazione: $ z=1-x^2-y^2 $ con (x,y) appartenente al cerchio C con centro nell'origine e raggio 1; si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente negativa.
Per prima cosa ho cercato di capire se la forma differenziale associata al campo sia esatta e facendo il rotore di F questi è diverso da 0 quindi non è conservativo e di conseguenza la forma differenziale non è esatta. Fatto ciò sono andato a considerare la superficie $ z=1-x^2-y^2 $ che ho parametrizzato con $ (rho,vartheta) $ ho scritto:
$ x=rho*cosvartheta $
$y=rho*senvartheta $
quindi
$ z=1-(rho)^2 $
Quindi ho chiamato con $ Phi $ l'applicazione che da $ R^2rarr R^3 $ :
$ Phi(rho,vartheta) rarr (rho*cosvartheta,rho*senvartheta,1-rho^2) $
da qui mi sono trovato i vettori tangenti alla superficie:
$ del Phi(rho,vartheta)//del rho $ $ = (cosvartheta,senvartheta,-2rho) $
$ del Phi(rho,vartheta)//del vartheta $ $ =(-rho*senvartheta,rho*cosvartheta,0) $
facendo il prodotto vettoriale mi sono ricavato il vettore normale alla superficie:
$ N(rho,vartheta)=(2rho^2*cosvartheta,-2rho^2*senvartheta,rho) $
Ora il problema è come faccio a trovare la terza componente negativa dato che $ 0leq rho le 1 $ e $ 0 le vartheta le 2pi $
ed ho anche un problema nel trovarmi il rotore con questi nuovi parametri potete aiutarmi?
.L'esercizio è il seguente:
Si calcoli il flusso del rotore del campo vettoriale F=(y,z,x) attraverso la superficie S di equazione: $ z=1-x^2-y^2 $ con (x,y) appartenente al cerchio C con centro nell'origine e raggio 1; si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente negativa.
Per prima cosa ho cercato di capire se la forma differenziale associata al campo sia esatta e facendo il rotore di F questi è diverso da 0 quindi non è conservativo e di conseguenza la forma differenziale non è esatta. Fatto ciò sono andato a considerare la superficie $ z=1-x^2-y^2 $ che ho parametrizzato con $ (rho,vartheta) $ ho scritto:
$ x=rho*cosvartheta $
$y=rho*senvartheta $
quindi
$ z=1-(rho)^2 $
Quindi ho chiamato con $ Phi $ l'applicazione che da $ R^2rarr R^3 $ :
$ Phi(rho,vartheta) rarr (rho*cosvartheta,rho*senvartheta,1-rho^2) $
da qui mi sono trovato i vettori tangenti alla superficie:
$ del Phi(rho,vartheta)//del rho $ $ = (cosvartheta,senvartheta,-2rho) $
$ del Phi(rho,vartheta)//del vartheta $ $ =(-rho*senvartheta,rho*cosvartheta,0) $
facendo il prodotto vettoriale mi sono ricavato il vettore normale alla superficie:
$ N(rho,vartheta)=(2rho^2*cosvartheta,-2rho^2*senvartheta,rho) $
Ora il problema è come faccio a trovare la terza componente negativa dato che $ 0leq rho le 1 $ e $ 0 le vartheta le 2pi $
ed ho anche un problema nel trovarmi il rotore con questi nuovi parametri potete aiutarmi?
Risposte
forse mi conviene porre come parametri
x=u e y=v con $ -1 le x le 1 $ e $ -sqrt(1-u^2) le v le sqrt(1-u^2) $ e provare a parametrizzare in questo modo ma la normale se non sbaglio dovrebbe uscire di questo tipo
$ N=(2u,2v,1) $ dove la terza componente è sempre positiva per ogni (x,y)
x=u e y=v con $ -1 le x le 1 $ e $ -sqrt(1-u^2) le v le sqrt(1-u^2) $ e provare a parametrizzare in questo modo ma la normale se non sbaglio dovrebbe uscire di questo tipo
$ N=(2u,2v,1) $ dove la terza componente è sempre positiva per ogni (x,y)
!
In generale, ti basta invertire
i posti nel prodotto vettoriale per cambiare il segno del risultato:
$a\Lambdab= -(b\Lambdaa)$.
-ti conviene certo, comunque, usare come parametri $(\rho,\theta)$
ATTENZIONE: comunque, non si
confonda un sistema di coordinate con una parametrizzazione.
Per esempio: una superficie piana ellittica.
Puoi parametrizzarla come:
$x=a\rhocos\theta;$
$y=b\rhosin\theta;$
$z=0;
$(\rho,\theta)\in [0,1]"X"[0,2\pi]$
Ma $(\rho,\theta)$ NON sono le coordinate
polari di un punto della superficie.
La cosa più semplice, nel tuo esercizio, E COMUNQUE, per esercizio appunto, andrebbe
sì calcolato il rotore ed il flusso, è fare la circuitazione
del campo $F$ sulla circonferenza.
INOLTRE: il rotore del campo ha lo stesso flusso
per QUALUNQUE superficie che abbia quella circonferenza come bordo.
Quindi potresti considerare il cerchio stesso, avendo così terza componennte (della superficie) nulla.
In un esame, per mia esperienza, potrebbero
pure considerarti "errori" (veniali) non aver proceduto nei
modi più semplici (semmai, potresti lasciare il calcolo del flusso attraverso quella superficie stessa che ti è data, come
'optional', alla fine; avendo "tempo libero"... -/procedura da 30elode...).
In generale, ti basta invertire
i posti nel prodotto vettoriale per cambiare il segno del risultato:
$a\Lambdab= -(b\Lambdaa)$.
-ti conviene certo, comunque, usare come parametri $(\rho,\theta)$
ATTENZIONE: comunque, non si
confonda un sistema di coordinate con una parametrizzazione.
Per esempio: una superficie piana ellittica.
Puoi parametrizzarla come:
$x=a\rhocos\theta;$
$y=b\rhosin\theta;$
$z=0;
$(\rho,\theta)\in [0,1]"X"[0,2\pi]$
Ma $(\rho,\theta)$ NON sono le coordinate
polari di un punto della superficie.
La cosa più semplice, nel tuo esercizio, E COMUNQUE, per esercizio appunto, andrebbe
sì calcolato il rotore ed il flusso, è fare la circuitazione
del campo $F$ sulla circonferenza.
INOLTRE: il rotore del campo ha lo stesso flusso
per QUALUNQUE superficie che abbia quella circonferenza come bordo.
Quindi potresti considerare il cerchio stesso, avendo così terza componennte (della superficie) nulla.
In un esame, per mia esperienza, potrebbero
pure considerarti "errori" (veniali) non aver proceduto nei
modi più semplici (semmai, potresti lasciare il calcolo del flusso attraverso quella superficie stessa che ti è data, come
'optional', alla fine; avendo "tempo libero"... -/procedura da 30elode...).
Scusami non ho capito bene mi stai consigliando di calcolarmi direttamente l'integrale della forma differenziale estesa alla frontiera in modo tale da poter conoscere quanto valga il flusso e singolarmente il versore normale ??
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo