Calcolo Flusso Campo Vettoriale
Salve a tutti! MI potreste dare alcuni chiarimenti su questo esercizio?
Si calcoli il flusso del campo $ F=(x,y,0) $ attraverso la superficie S di equazione: $ cos(x^2+y^2) $
Con $ x^2+y^2
Si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente non negativa.
Allora, so che in questo caso non è possibile usare il teorema della divergenza... O almeno il professore ha detto così. Come mai non posso utilizzarlo?
Poi un'altra domanda... Ho vari dubbi sullo svolgimento di questo esercizio, quindi se poteste darmi una mano ad impostarlo ve ne sarei molto grato...Grazie
Si calcoli il flusso del campo $ F=(x,y,0) $ attraverso la superficie S di equazione: $ cos(x^2+y^2) $
Con $ x^2+y^2
Si assuma che S sia orientata in modo tale che il versore normale abbia la terza componente non negativa.
Allora, so che in questo caso non è possibile usare il teorema della divergenza... O almeno il professore ha detto così. Come mai non posso utilizzarlo?
Poi un'altra domanda... Ho vari dubbi sullo svolgimento di questo esercizio, quindi se poteste darmi una mano ad impostarlo ve ne sarei molto grato...Grazie
Risposte
Quale condizione è necessaria per il teorema della divergenza che, in questo caso, non viene verificata?
Così come è non è possibile applicare la divergenza, tuttavia se consideri la superficie, formata da quella richiesta piu quella della base del piano, puoi usare la divergenza, dopodichè al flusso ottenuto sottrai il flusso sulla base, ottenendo il flusso richiesto
Io so che il flusso è dato da:
$ int_(+delS)dsigma $
Con ne versore normale al alla superficie, la cui componente sia negativa ( in questo caso). Ma come faccio a calcolarmelo?
Se il versore normale si calcola mettendo l'equazione della superficie in forma implicita, ossia: $ cos(x^2+y^2) -z=0 $ e calcolando le derivate parziali, ottenendo il vettore: $ (2xsen(x^2+y^2),2ysen(x^2+y^2),-1) $ , e dividendolo per la sua norma, ottenendo il versore normale: $ ((2xsen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))),(2ysen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))), -1/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))) )$
Quindi dovrei risolvere questo integrale: $ int_(+delS)<(x,y,0),((2xsen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))),(2ysen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))), -1/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))) )> $
Con $ +delS={(x,y)in R^2:x^2+y^2<=pi/2} $
Poi procederei al calcolo dell'integrale con un cambiamento di variabili in coordinate polari... Potrebbe essere esatto questo svolgimento?
Inoltre un'altra cosa! Quali sono le condizione necessarie affinché io possa applicare la divergenza? Non mi sembra di aver mai letto nulla riguardo essa... Conosco solo l'uguaglianza, così come il prof ci ha detto a lezione =/
$ int_(+delS)
Con ne versore normale al alla superficie, la cui componente sia negativa ( in questo caso). Ma come faccio a calcolarmelo?
Se il versore normale si calcola mettendo l'equazione della superficie in forma implicita, ossia: $ cos(x^2+y^2) -z=0 $ e calcolando le derivate parziali, ottenendo il vettore: $ (2xsen(x^2+y^2),2ysen(x^2+y^2),-1) $ , e dividendolo per la sua norma, ottenendo il versore normale: $ ((2xsen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))),(2ysen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))), -1/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))) )$
Quindi dovrei risolvere questo integrale: $ int_(+delS)<(x,y,0),((2xsen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))),(2ysen(x^2+y^2))/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))), -1/(sqrt(1+4x^2sen^2(x^2+y^2)+4y^2sen^2(x^2+y^2))) )> $
Con $ +delS={(x,y)in R^2:x^2+y^2<=pi/2} $
Poi procederei al calcolo dell'integrale con un cambiamento di variabili in coordinate polari... Potrebbe essere esatto questo svolgimento?
Inoltre un'altra cosa! Quali sono le condizione necessarie affinché io possa applicare la divergenza? Non mi sembra di aver mai letto nulla riguardo essa... Conosco solo l'uguaglianza, così come il prof ci ha detto a lezione =/
E nessuno che risponde alla mia domanda: mai letto che il volume racchiuso dalla superficie deve essere "chiuso"? A voi sembra che la superficie definita da $\cos(x^2+y^2)$ sia una roba chiusa?
"ciampax":
E nessuno che risponde alla mia domanda: mai letto che il volume racchiuso dalla superficie deve essere "chiuso"? A voi sembra che la superficie definita da $\cos(x^2+y^2)$ sia una roba chiusa?
In effetti... Grazie =)
"ciampax":
E nessuno che risponde alla mia domanda: mai letto che il volume racchiuso dalla superficie deve essere "chiuso"? A voi sembra che la superficie definita da $\cos(x^2+y^2)$ sia una roba chiusa?
Ciao scusa ancora.. dici che non è possibile in questo caso specifico, ovviare al problema della superficie aperta, considerando la superficie chiusa data da quella del grafico della funzione più quella sul piano, dato che la funzione interseca il piano?
Per poi ricavare il flusso che serve sottraendo al flusso totale calcolato con la divergenza quello sulla base del piano?
Grazie e scusami
Sì, certo che puoi fare così, ma io avevo fatto una domanda e nessuno ha risposto! 
"ciampax":
Sì, certo che puoi fare così, ma io avevo fatto una domanda e nessuno ha risposto!
Invece che ne pensi del mio procedimento? Pensi sia corretto?
"ZxInfinitexZ":
[quote="ciampax"]Sì, certo che puoi fare così, ma io avevo fatto una domanda e nessuno ha risposto!
Invece che ne pensi del mio procedimento? Pensi sia corretto?
[/quote]Troppi conti e non se ne vede la fine. Sarà anche corretto ma rischi di impazzire.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo