Calcolo estremo superiore successione di funzioni

[swanrhcp]

Salve, ho questo problemino nel calcolo del sup per poi determinare se una successione di funzione converge o no uniformemente. ho letto vari post ma non riesco a capire se c'è un metodo ben preciso per calcolarlo o se ce ne sono diversi. Potete spiegarmi come funziona? Vi posto un esempio:
$ fn(x) = (1-x)x^n $ con $x in [0,1]$, trovare il limite puntuale e vedere se converge anche uniformemente.

Ho calcolato il limite puntuale $fn(x) -> f(x) $ per $n->oo$ ed è uguale a $0$,
ora come faccio a calcolare il sup $ [fn(x)-f(x): x in [0,1]]$ ??? Grazie.

MOD: modificato errore di battitura: successione di funzioni..

[Hadronen]

Non ho capito... E' una serie di funzioni o una successione di funzioni ?

Comunque di modi per conoscere il sup di una successione ce ne sono abbastanza...
Boh... Provare a derivare è uno...

[swanrhcp]

"Hadronen":Non ho capito... E' una serie di funzioni o una successione di funzioni ?

Comunque di modi per conoscere il sup di una successione ce ne sono abbastanza...
Boh... Provare a derivare è uno...

successione...avevo sbagliato a scrivere, ho corretto ora cmq in che modo si può calcolare il sup della successione?

[Hadronen]

$(f_n)'(x) = nx^(n-1)(1-x) - x^n = x^(n-1)(n-(n+1)x) $ ... da cui si vede che il massimo è in $x = n/(n+1)$.

[swanrhcp]

"Hadronen":$(f_n)'(x) = nx^(n-1)(1-x) - x^n = x^(n-1)(n-(n+1)x) $ ... da cui si vede che il massimo è in $x = n/(n+1)$.

In generale è sempre possibile calcolare il sup della successione ricavando il massimo dalla la derivata prima ??

[Hadronen]

Bhe ci sono casi in cui diventa complicato, o meglio dire noioso.
Altri in cui studiare la derivata prima non ti porta a nulla... ad esempio se $f_n(x) = arctan(nx)$ .
Dipende un po' dai casi... quindi in generale no.

[swanrhcp]

E in quei casi in cui non si può calcolare con la derivata prima, come si fa a trovarlo??

[Hadronen]

Non esiste una regola. Nell'esempio che ho fatto sopra dovresti sapere che il sup di $f_n(x) = pi/2$.

Oppure, boh... Se prendi $f_n(x) = 1/(1+(n^2x^2))$ , puoi facilmente vedere che si ha sup ( che in questo caso equivale al massimo ) quando il denominatore ha valore minimo, ovvero quando $x=0$... Sono solo degli esempi, comunque... Se ne potrebbero fare a migliaia. Non c'è un metodo generale.