Calcolo estremo superiore di una successione
Buongiorno a tutti!
Sto studiando successioni e serie di funzioni e per studiarne la convergenza,ci si riduce sempre al calcolo di un estremo superiore.Ma come si calcola il sup di una successione?In un esempio del libro,devo studiare il carattere della serie di funzioni $sum_{n=1}^oo (|x|^n)/n$ con $x in [-1,0]$ .
Il sup di $ (|x|^n)/n$ è $1/n$ per $x in [-1,0]$ .Come si arriva a questo risultato?Qual'è il metodo generale per il calcolo dell'estremo superiore?
Sto studiando successioni e serie di funzioni e per studiarne la convergenza,ci si riduce sempre al calcolo di un estremo superiore.Ma come si calcola il sup di una successione?In un esempio del libro,devo studiare il carattere della serie di funzioni $sum_{n=1}^oo (|x|^n)/n$ con $x in [-1,0]$ .
Il sup di $ (|x|^n)/n$ è $1/n$ per $x in [-1,0]$ .Come si arriva a questo risultato?Qual'è il metodo generale per il calcolo dell'estremo superiore?
Risposte
Stai attento: quello che devi calcolare è $"sup" {(|x|^n)/n\ |\ x\in[-1, 0]}$. In pratica consideri $n$ fissato e il sup lo calcoli al variare di $x$. Ancora più in concreto, fissi $n$ e "studi la funzione $(|x|)^n/n$", come si direbbe a scuola.
Si,perchè devo ottenere una successione numerica.Il problema è che ho un po di confusione nel calcolo dell'estremo superiore della funzione fissando $n$.
Se la funzione ammette massimo,devo calcolare il massimo?
E se non ammette massimo?Come faccio a calcolare il sup?Devo vedere cosa accade ai "margini" del dominio mediante i limiti?
Se la funzione ammette massimo,devo calcolare il massimo?
E se non ammette massimo?Come faccio a calcolare il sup?Devo vedere cosa accade ai "margini" del dominio mediante i limiti?
Una ricetta sempre valida non è che ci sia. Se la funzione è derivabile e si riesce a studiare il segno della derivata, puoi usare questa informazione. Poi qui la fa da padrone il teorema di Weierstrass e i teoremi sui limiti delle funzioni monotone, che poi sono quelli che stavi pensando di usare tu quando parlavi di margini del dominio.
Mi spiego meglio: nel nostro caso hai una famiglia di funzioni $(|x|^n)/n$ definite sul compatto $[-1, 0]$. Queste funzioni sono tutte continue e perciò invece che di sup puoi parlare di massimo (e qui è intervenuto Weierstrass). Vediamo la monotonia di queste funzioni: rispetto ad $x$ queste funzioni sono decrescenti e perciò prendono il massimo nel punto più "a sinistra" dell'intervallo di definizione: -1. Da cui, il massimo si ottiene valutando la $f_n$ in $-1$.
Cosa sarebbe cambiato se l'insieme di definizione fosse stato $(-1, 0]$? Non puoi usare più Weierstrass (e infatti le funzioni non avranno un max) ma i teoremi sulle funzioni monotone sì.
In particolare ci ricordiamo che, data una funzione $f:I\toRR$ decrescente, con $I$ intervallo (di qualsiasi tipo), risulta che il sup dei valori assunti dalla funzione è proprio il limite nell'estremo sinistro dell intervallo.
E' proprio il nostro caso, quindi basta calcolare $lim_{x\to-1}(|x|^n)/n=1/n$ per ottenere il sup.
Mi spiego meglio: nel nostro caso hai una famiglia di funzioni $(|x|^n)/n$ definite sul compatto $[-1, 0]$. Queste funzioni sono tutte continue e perciò invece che di sup puoi parlare di massimo (e qui è intervenuto Weierstrass). Vediamo la monotonia di queste funzioni: rispetto ad $x$ queste funzioni sono decrescenti e perciò prendono il massimo nel punto più "a sinistra" dell'intervallo di definizione: -1. Da cui, il massimo si ottiene valutando la $f_n$ in $-1$.
Cosa sarebbe cambiato se l'insieme di definizione fosse stato $(-1, 0]$? Non puoi usare più Weierstrass (e infatti le funzioni non avranno un max) ma i teoremi sulle funzioni monotone sì.
In particolare ci ricordiamo che, data una funzione $f:I\toRR$ decrescente, con $I$ intervallo (di qualsiasi tipo), risulta che il sup dei valori assunti dalla funzione è proprio il limite nell'estremo sinistro dell intervallo.
E' proprio il nostro caso, quindi basta calcolare $lim_{x\to-1}(|x|^n)/n=1/n$ per ottenere il sup.
Grazie mille dissonance! 
Solo una cosa:ovviamente quando citi Weierstrass ,ti riferisci al teorema seguente?
Sia f(x) una funzione continua in un insieme compatto A.Allora f(x) è dotata di minimo e massimo
Solo una cosa:ovviamente quando citi Weierstrass ,ti riferisci al teorema seguente?
Sia f(x) una funzione continua in un insieme compatto A.Allora f(x) è dotata di minimo e massimo
Certo.
Ok, grazie di tutto
Ma se $I$ invece fosse stato tutto $R$.. l'estremo superiore come si trovava?
Indoviniamo un po'... La funzione $f_n(x)=|x|^n/n$ che stremo superiore avrà?
Prova a disegnare un grafico (non è difficile, basta ricordarsi come sono fatti i grafici delle funzioni elementari e come li modifica il valore assoluto) per farti un'idea.
Se non ne ricavi nulla, considera che ti serve almeno una settimana per ristudiare (seriamente) Analisi I.
Prova a disegnare un grafico (non è difficile, basta ricordarsi come sono fatti i grafici delle funzioni elementari e come li modifica il valore assoluto) per farti un'idea.
Se non ne ricavi nulla, considera che ti serve almeno una settimana per ristudiare (seriamente) Analisi I.
io volevo sapere solo il procedimento quando l'intervallo è tutto R...
Non ho capito se vuoi sapere un procedimento generale o riguardo l'esempio specifico.
Nel caso dell'esempio specifico, ti ho indicato una strada.
Invece, se vuoi un procedimento generale, dico che per trovare il $"sup"_RR |f_n|$ si procede un po' a naso, nel senso che ora specifico.
Se le $|f_n|$ sono continue ed infinitesime all'infinito (nel senso che $lim_(x\to +-oo)|f_n(x)|=0$), allora ogni $|f_n|$ è dotata di massimo assoluto in $RR$ e perciò $"sup"_RR |f_n|=max_RR |f_n|$; in tal caso, se ogni $|f_n|$ è derivabile in $RR$, il punto di massimo si determina con i metodi classici del Calcolo Differenziale (per intenderci, derivata prima $=0$ e studio della monotonia). Se $|f_n|$ non è derivabile in tutto $RR$ chiaramente si deve tenere in conto il fatto che il massimo assoluto può stare in un punto di non derivabilità...
Se invece $|f_n|$ è continua ma non infinitesima all'infinito, in generale non si può dire che $|f_n|$ sia dotata di massimo assoluto (ad esempio, $f_n(x)=x^2/(x^2+1)$ non è infinitesima all'infinito e non è dotata di massimo assoluto in $RR$). In tal caso e nell'ipotesi in cui $|f_n|$ è derivabile in $RR$, si determinano i massimi locali di $|f_n|$ con le tecniche classiche del Calcolo Differenziale e si calcolano i limiti $lim_(x\to +-oo) |f_n(x)|$, poiché l'estremo superiore $"sup"_RR |f_n(x)|$ è certamente compreso tra questi valori (essendo un massimo se coincide con qualche massimo locale, o semplicemente un $"sup"$ se coincide con uno dei limiti senza coincidere con alcun massimo locale).
Anche qui, se $|f_n|$ non è differenziabile, bisogna tenere in conto gli eventuali punti di non derivabilità etc...
Una volta determinato per ogni $n\in NN$ il valore $M_n="sup"_RR |f_n(x)|$, se la serie numerica $sum M_n$ converge la serie $sum f_n(x)$ converge totalmente in $RR$; altrimenti no.
Ovviamente, nel secondo caso, si può porre il problema di determinare se esistono insiemi $B\subseteq RR$ nei quali la serie $sum f_n(x)$ converge totalmente: questo problema va affrontato partendo, ad esempio, dagli intervalli compatti $B=[a,b]$ provando a vedere si si riesce a trovare convergenza totale almeno lì dentro; poi casomai ci si "allarga".
Ma parlare in generale di queste cose è un po' come dire tutto e niente; sarebbe meglio lavorare in casi concreti.
Nel caso dell'esempio specifico, ti ho indicato una strada.
Invece, se vuoi un procedimento generale, dico che per trovare il $"sup"_RR |f_n|$ si procede un po' a naso, nel senso che ora specifico.
Se le $|f_n|$ sono continue ed infinitesime all'infinito (nel senso che $lim_(x\to +-oo)|f_n(x)|=0$), allora ogni $|f_n|$ è dotata di massimo assoluto in $RR$ e perciò $"sup"_RR |f_n|=max_RR |f_n|$; in tal caso, se ogni $|f_n|$ è derivabile in $RR$, il punto di massimo si determina con i metodi classici del Calcolo Differenziale (per intenderci, derivata prima $=0$ e studio della monotonia). Se $|f_n|$ non è derivabile in tutto $RR$ chiaramente si deve tenere in conto il fatto che il massimo assoluto può stare in un punto di non derivabilità...
Se invece $|f_n|$ è continua ma non infinitesima all'infinito, in generale non si può dire che $|f_n|$ sia dotata di massimo assoluto (ad esempio, $f_n(x)=x^2/(x^2+1)$ non è infinitesima all'infinito e non è dotata di massimo assoluto in $RR$). In tal caso e nell'ipotesi in cui $|f_n|$ è derivabile in $RR$, si determinano i massimi locali di $|f_n|$ con le tecniche classiche del Calcolo Differenziale e si calcolano i limiti $lim_(x\to +-oo) |f_n(x)|$, poiché l'estremo superiore $"sup"_RR |f_n(x)|$ è certamente compreso tra questi valori (essendo un massimo se coincide con qualche massimo locale, o semplicemente un $"sup"$ se coincide con uno dei limiti senza coincidere con alcun massimo locale).
Anche qui, se $|f_n|$ non è differenziabile, bisogna tenere in conto gli eventuali punti di non derivabilità etc...
Una volta determinato per ogni $n\in NN$ il valore $M_n="sup"_RR |f_n(x)|$, se la serie numerica $sum M_n$ converge la serie $sum f_n(x)$ converge totalmente in $RR$; altrimenti no.
Ovviamente, nel secondo caso, si può porre il problema di determinare se esistono insiemi $B\subseteq RR$ nei quali la serie $sum f_n(x)$ converge totalmente: questo problema va affrontato partendo, ad esempio, dagli intervalli compatti $B=[a,b]$ provando a vedere si si riesce a trovare convergenza totale almeno lì dentro; poi casomai ci si "allarga".
Ma parlare in generale di queste cose è un po' come dire tutto e niente; sarebbe meglio lavorare in casi concreti.
grazie 
volevo questo...
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