Calcolo estremi liberi di una funzione in due variabili.
Salve, avrei un problema riguardo il seguente esercizio:
Trovare gli estremi liberi della funzione $ f(x,y)=2x^3y+3x^2y-y^2 $
Il mio ragionamento è il seguente:
$ grad f(x,y)=( ( 6x^2y+6xy ),( 2x^3+3x^2-2y ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $
ed ottengo tre punti critici $ (0,0) ; (-3/2,0) ; (-1,1/2) $
A questo punto calcolo l'Hessiana della funzione
$ Hf(x,y)=( ( 12xy+6y , 6x^2+6x ),( 6x^2+6x , -2 ) ) $
Nei punti critici trovati:
$ Hf(-1,1/2)=( ( -3 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ ed essendo essa una matrice definita negativa ne deduco che il punto sia un punto di massimo relativo.
$ Hf(-3/2,0)=( ( 0 , 9/2 ),( 9/2 , -2 ) ) $ ed essendo una matrice con determinante negativo ne deduco che il punto è un punto di sella
$ Hf(0,0)=( ( 0 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ quindi non ricavo nulla dall'Hessiana e il mio ragionamento è il seguente: restringendomi all'asse x=0, che passa per il punto critico (0,0) ottengo $ f(0,y)=-y^2 $ che, essendo negativa per ogni intorno di (0,0) per ogni y appartenente a R ne deduco che l'origine è un punto di MASSIMO locale.
Ho molti dubbi soprattutto sull'origine, chiedo un parere in questo forum in quanto il libro nella soluzione calcola erroneamente l'hessiana sballando tutti i risultati. Grazie anticipate.
Trovare gli estremi liberi della funzione $ f(x,y)=2x^3y+3x^2y-y^2 $
Il mio ragionamento è il seguente:
$ grad f(x,y)=( ( 6x^2y+6xy ),( 2x^3+3x^2-2y ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $
ed ottengo tre punti critici $ (0,0) ; (-3/2,0) ; (-1,1/2) $
A questo punto calcolo l'Hessiana della funzione
$ Hf(x,y)=( ( 12xy+6y , 6x^2+6x ),( 6x^2+6x , -2 ) ) $
Nei punti critici trovati:
$ Hf(-1,1/2)=( ( -3 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ ed essendo essa una matrice definita negativa ne deduco che il punto sia un punto di massimo relativo.
$ Hf(-3/2,0)=( ( 0 , 9/2 ),( 9/2 , -2 ) ) $ ed essendo una matrice con determinante negativo ne deduco che il punto è un punto di sella
$ Hf(0,0)=( ( 0 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ quindi non ricavo nulla dall'Hessiana e il mio ragionamento è il seguente: restringendomi all'asse x=0, che passa per il punto critico (0,0) ottengo $ f(0,y)=-y^2 $ che, essendo negativa per ogni intorno di (0,0) per ogni y appartenente a R ne deduco che l'origine è un punto di MASSIMO locale.
Ho molti dubbi soprattutto sull'origine, chiedo un parere in questo forum in quanto il libro nella soluzione calcola erroneamente l'hessiana sballando tutti i risultati. Grazie anticipate.
Risposte
L'origine non è un punto di massimo locale!! Se infatti ti avvicini all'origine lungo la curva $y=x^3$, ottieni che
$f(x,y)=x^6+3x^5$, che, per $x>0$, è positiva. Quindi l'origine è un punto di sella.
$f(x,y)=x^6+3x^5$, che, per $x>0$, è positiva. Quindi l'origine è un punto di sella.
a meno di errori di conto ho dimostrato con il metodo delle rette che (0,0) è di sella. prova ad applicarlo anche tu e vedere cosa ti esce fuori!
EDIT non avevo visto il post pecedente. allora i conti sono corretti. io però ho considerato le curve $y=+- x$
EDIT non avevo visto il post pecedente. allora i conti sono corretti. io però ho considerato le curve $y=+- x$
Con le curve $y=\pm x$ si ottiene $f(x,y)=\pm 2x^4 \pm 3x^3-2x^2$, e facendo tendere $x$ a zero otteniamo che il tutto è asintotico a $-x^2$, che è negativo. A noi però serve trovare dei punti nell'intorno dell'origine in cui la funzione è positiva.
ma poi derivando trovo che in un caso è massimo nell'altro minimo e quindi il metodo delle rette mi dice che non è estremante.
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